변수분리형 미분방정식 연습문제 — Active Calculus · 7.4절 · 9번

Active Calculus · 7.4절 · 9번대학 수준우리말 번역

다음 초깃값 문제를 생각하세요.

$\frac{dy}{dt} = -\frac ty, \ y(0) = 8$

(a) 이 초깃값 문제의 해를 구하고 그 그래프를 그리세요. (b) 해가 정의되는 $t$ 의 값은 무엇인지 구하세요. (c) 해가 정의되는 마지막 시각에서 $y$ 의 값은 얼마인지 구하세요. (d) 미분방정식을 살펴보고, (c)에서 구한 $y$ 의 값을 갖는 해를 기대하면 안 되는 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Consider the initial value problem

$\frac{dy}{dt} = -\frac ty, \ y(0) = 8$

(a) Find the solution of the initial value problem and sketch its graph. (b) For what values of $t$ is the solution defined? (c) What is the value of $y$ at the last time that the solution is defined? (d) By looking at the differential equation, explain why we should not expect to find solutions with the value of $y$ you noted in (c).

정답·풀이 보기

(a) 변수를 분리하면 $y \frac{dy}{dt} = -t$ 이고, $t$ 에 대해 적분하면 $\int y \, dy = -\int t \,dt\,.$ 적분을 계산하고 $y$ 에 대해 풀면 $\frac{1}{2}y^2 = -\frac{1}{2}t^2 + C$ 이므로 $y^2 = C - t^2\,,$ 따라서 $y = \pm \sqrt{C - t^2}$ 이다. 초기 조건 $y(0) = 8$ 을 적용하면 $8 = \sqrt{C}$ 이므로( $8 > 0$ 이므로 $\pm$ 중 $+$ 를 택한다) $C = 64$ 이다. 그러므로 초깃값 문제의 해는 $y = \sqrt{64 - t^2}\,.$ (b) 이 초깃값 문제의 해는 $-8 \le t \le 8$ 에서 정의된다. (c) 해가 정의되는 마지막 시각은 $t = 8$ 이고, 이때 대응하는 $y$ 의 값은 $y(8) = 0$ 이다. (d) 미분방정식은 $\frac{dy}{dt} = -\frac ty$ 이고, $y = 0$ 일 때 우변의 식은 정의되지 않는다. 따라서 (c)에서 구한 점에서는 엄밀히 말해 해의 값이 정의되지 않는다. 이는 방향장에서 이 점에 수직 접선이 있다는 것과 관련이 있다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Separating the variables, we find that $y \frac{dy}{dt} = -t$ and integrating with respect to $t$ $\int y \, dy = -\int t \,dt\,.$ Evaluating the integrals and solving for $y$ , we see that $\frac{1}{2}y^2 = -\frac{1}{2}t^2 + C$ and therefore $y^2 = C - t^2\,,$ so $y = \pm \sqrt{C - t^2}$ . Applying the initial condition $y(0) = 8$ , we find that $8 = \sqrt{C}$ (we choose the $+$ from $\pm$ since $8 > 0$ ), so $C = 64$ . Hence the solution to the IVP is $y = \sqrt{64 - t^2}\,.$ (b) The solution to the IVP is defined for $-8 \le t \le 8$ . (c) The last time that the solution is defined is $t = 8$ and the corresponding value of $y$ at this point is $y(8) = 0$ . (d) Recall that the differential equation is $\frac{dy}{dt} = -\frac ty$ , and the righthand expression is undefined when $y = 0$ . Hence the solution value is technically not defined at the point we noted in (c); this is connected to there being a vertical tangent line at this point in the direction field.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 2.4절 · 26번우리말 번역

초깃값 문제 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}= k(3-x)(2-x)$ , $x(0)=1$ 을 생각하세요. 여기서 $k$ 는 양의 상수입니다. (이런 종류의 문제는 어떤 화학 반응을 분석할 때 나타납니다.)

(a) 이 초깃값 문제를 푸세요. 즉, $x$ 를 $t$ 의 함수로 나타내세요. (b) $t$ 가 $+\infty$ 에 가까워질 때 $x(t)$ 는 어떤 값에 가까워지는지 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 주어진 미분방정식은 변수분리형이므로 그에 따라 푼다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}&= k(3-x)(2-x)\\ \frac{\mathrm{d}x}{(x-2)(x-3)}&= k\mathrm{d}t \\ \text{부분분수 분해를 이용하면 $\frac{1}{(x-2)(x-3)}=\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2}$ 이다.} \\ \int\Big[\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2}\Big]\ \mathrm{d}x&= \int k\mathrm{d}t\\ \log|x-3|-\log|x-2|&=kt+C\\ \log\left|\frac{x-3}{x-2}\right|&=kt+C\\ \left|\frac{x-3}{x-2}\right|&=e^{kt+C}=e^{kt}e^C\\ \frac{x-3}{x-2}&=De^{kt} \\ \text{ 여기서 $D=\pm e^C$ 이다. $t=0$ 일 때 $x=1$ 이므로} \\ \frac{1-3}{1-2}&=De^{0}\\ D&=2 \\ \text{따라서} \\ \frac{x-3}{x-2}&=2e^{kt}\\ x-3&=2e^{kt}(x-2)\\ x-2e^{kt}x&=3-4e^{kt}\\ x(t)&=\frac{3-4e^{kt}}{1-2e^{kt}} \end{aligned}$

(b) 극한을 구하기 위해 로피탈의 정리를 쓸 수도 있지만, 분자와 분모에 $e^{-kt}$ 를 곱해도 된다. $\lim\limits_{t \to \infty} e^{-tk}=0$ 임에 유의한다.

$\begin{aligned} \lim_{t\rightarrow\infty}x(t) &=\lim_{t\rightarrow\infty}\underbrace{\frac{3-4e^{kt}}{1-2e^{kt}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to-\infty}{\mathrm{den}\to-\infty}} =\lim_{t \to \infty} \frac{3-4e^{kt}}{1-2e^{kt}}\cdot\frac{e^{-kt}}{e^{-kt}} =\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{3e^{-kt}-4}{e^{-kt}-2} =\frac{0-4}{0-2} =2 \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 변수분리형 미분방정식그래프·표 해석자동 분류