변수분리형 미분방정식 연습문제 — CLP-2 · 2.4절 · 26번

CLP-2 · 2.4절 · 26번대학 수준우리말 번역

초깃값 문제 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}= k(3-x)(2-x)$ , $x(0)=1$ 을 생각하세요. 여기서 $k$ 는 양의 상수입니다. (이런 종류의 문제는 어떤 화학 반응을 분석할 때 나타납니다.)

(a) 이 초깃값 문제를 푸세요. 즉, $x$ 를 $t$ 의 함수로 나타내세요. (b) $t$ 가 $+\infty$ 에 가까워질 때 $x(t)$ 는 어떤 값에 가까워지는지 구하세요.

영어 원문 보기

Consider the initial value problem $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}= k(3-x)(2-x)$ , $x(0)=1$ , where $k$ is a positive constant. (This kind of problem occurs in the analysis of certain chemical reactions.)

(a) Solve the initial value problem. That is, find $x$ as a function of $t$ . (b) What value will $x(t)$ approach as $t$ approaches $+\infty$ .

정답·풀이 보기

(a) 주어진 미분방정식은 변수분리형이므로 그에 따라 푼다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}&= k(3-x)(2-x)\\ \frac{\mathrm{d}x}{(x-2)(x-3)}&= k\mathrm{d}t \\ \text{부분분수 분해를 이용하면 $\frac{1}{(x-2)(x-3)}=\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2}$ 이다.} \\ \int\Big[\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2}\Big]\ \mathrm{d}x&= \int k\mathrm{d}t\\ \log|x-3|-\log|x-2|&=kt+C\\ \log\left|\frac{x-3}{x-2}\right|&=kt+C\\ \left|\frac{x-3}{x-2}\right|&=e^{kt+C}=e^{kt}e^C\\ \frac{x-3}{x-2}&=De^{kt} \\ \text{ 여기서 $D=\pm e^C$ 이다. $t=0$ 일 때 $x=1$ 이므로} \\ \frac{1-3}{1-2}&=De^{0}\\ D&=2 \\ \text{따라서} \\ \frac{x-3}{x-2}&=2e^{kt}\\ x-3&=2e^{kt}(x-2)\\ x-2e^{kt}x&=3-4e^{kt}\\ x(t)&=\frac{3-4e^{kt}}{1-2e^{kt}} \end{aligned}$

(b) 극한을 구하기 위해 로피탈의 정리를 쓸 수도 있지만, 분자와 분모에 $e^{-kt}$ 를 곱해도 된다. $\lim\limits_{t \to \infty} e^{-tk}=0$ 임에 유의한다.

$\begin{aligned} \lim_{t\rightarrow\infty}x(t) &=\lim_{t\rightarrow\infty}\underbrace{\frac{3-4e^{kt}}{1-2e^{kt}}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to-\infty}{\mathrm{den}\to-\infty}} =\lim_{t \to \infty} \frac{3-4e^{kt}}{1-2e^{kt}}\cdot\frac{e^{-kt}}{e^{-kt}} =\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{3e^{-kt}-4}{e^{-kt}-2} =\frac{0-4}{0-2} =2 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) The given differential equation is separable and we solve it accordingly.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}&= k(3-x)(2-x)\\ \frac{\mathrm{d}x}{(x-2)(x-3)}&= k\mathrm{d}t \\ \text{Using the method of partial fractions, we find $\frac{1}{(x-2)(x-3)}=\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2}$.} \\ \int\Big[\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2}\Big]\ \mathrm{d}x&= \int k\mathrm{d}t\\ \log|x-3|-\log|x-2|&=kt+C\\ \log\left|\frac{x-3}{x-2}\right|&=kt+C\\ \left|\frac{x-3}{x-2}\right|&=e^{kt+C}=e^{kt}e^C\\ \frac{x-3}{x-2}&=De^{kt} \\ \text{ where $D=\pm e^C$. When $t=0$, $x=1$, forcing} \\ \frac{1-3}{1-2}&=De^{0}\\ D&=2 \\ \text{Hence} \\ \frac{x-3}{x-2}&=2e^{kt}\\ x-3&=2e^{kt}(x-2)\\ x-2e^{kt}x&=3-4e^{kt}\\ x(t)&=\frac{3-4e^{kt}}{1-2e^{kt}} \end{aligned}$

(b) To evaluate the limit, we could use l'Hopital's rule, but we could also just multiply the numerator and denominator by $e^{-kt}$ . Note $\lim\limits_{t \to \infty} e^{-tk}=0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 2.4절 · 25번우리말 번역

모터보트가 속도 40 ft/sec로 달리다가 시각 $t=0$ 에 모터가 꺼진다. 그 후 물의 저항으로 인한 감속은 다음과 같이 주어진다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-k\,v^2 \end{aligned}$

여기서 $k$ 는 양의 상수이다. 10초 후 보트의 속도는 20 ft/sec이다.

(a) $k$ 의 값은 얼마인지 구하세요. (b) 보트의 속도가 5 ft/sec가 되는 때는 언제인지 구하세요.

답 쓰고 채점

(a)

(b)

초

다 풀었으면 정답 확인

(a) 주어진 미분방정식은 변수분리형이므로 그에 따라 푼다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}&=-k\,v^2\\ -\frac{\mathrm{d}v}{v^2}&=k\,\mathrm{d}t\\ \int- \frac{\mathrm{d}v}{v^2}&=\int k\,\mathrm{d}t\\ \frac{1}{v}&=kt+C \\ \text{$t=0$ 일 때 $v=40$ 이므로 } \\ \frac{1}{40}&=k\times 0+ C\\ C&=\frac{1}{40} \\ \text{따라서,} \\ v(t)&=\frac{1}{kt+C}=\frac{1}{kt+1/40}=\frac{40}{40kt+1}\tag{$*$} \\ \text{비례상수 $k$ 는 다음 조건으로 정해진다.} \\ v(10)&=20\\ 20&=\frac{40}{40k\times 10+1}\\ \frac{1}{2}&=\frac{1}{400k+1}\\ 400k+1&=2 \\ k&=\frac{1}{400} \end{aligned}$

(b) $k$ 의 값을 $(*)$ 에 대입하면,

$\begin{aligned} v(t)&=\frac{40}{40kt+1}=\frac{40}{t/10+1}\\ \\ \text{$v(t)=5$ 가 되는 $t$ 의 값을 구하려 한다.} \\ 5&=\frac{40}{t/10+1}\\ \frac{t}{10}+1&=8 \\ t&=70\text{ sec} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 변수분리형 미분방정식계산보통자동 분류