평균변화율과 미분계수

(a) 먼저 $P(7)-P(0) = 115(1.014)^7-115(1.014)^0 \approx 0.1175$ 십억 명이 총 인구 변화량이다. 따라서 이 기간의 평균변화율은 $AV_{[0,7]}=\frac{0.1175}{7} \approx 0.01679$ 십억 명/년이다. $t = 7$ 에서의 인구의 순간변화율은 $$P'(7) = \lim_{h \to 0} AV_{[7,7+h]} = \lim_{h \to 0} \frac{115(1.014)^{7+h}-115(1.014)^7}{h}\,$$ 이고, 작은 $h$ 값들로 이 값을 어림하면 $P'(7) \approx 0.1762$ 이다. 그러므로 $t = 7$ 에서의 순간변화율은 구간 $[0,7]$ 에서 $P$ 의 평균변화율보다 크다. (b) 평균변화율의 공식을 이용하면, $$AV_{[19,29]}=\frac{1.15(1.014)^{29}-1.15(1.014)^{19}}{29-19} \approx 0.02234$$ 십억 명/년이다. (c) 오늘 날짜를 2015년 7월 1일이라고 하면 $t = 22.5$ 이므로 $P'(22.5)$ 를 계산하면 된다. 극한의 정의에 따라 $$P'(22.5) = \lim_{h \to 0} \frac{115(1.014)^{22.5+h}-115(1.014)^{22.5}}{h}\,.$$ 작은 $h$ 값들로 이 극한을 어림하면 $P'(22.5) \approx 0.02186$ 이고, 단위는 십억 명/년이다. (d) 기울기가 $P'(22.5) \approx 0.02186$ 이고 점 $(22.5, P(22.5))$ 를 지나는 접선의 방정식을 구하면 된다. 점-기울기 꼴을 이용하면, 이 직선은 $$y - 1.57236 = 0.02186(t-22.5)\,$$ 이다.