곱과 몫의 미분법 연습문제 — APEX · 2.4절 · 1번

APEX · 2.4절 · 1번우리말 번역

참/거짓: 곱의 미분법에 따르면 $\displaystyle \frac{d}{dx}\big(x^2\sin x\big) = 2x\cos x$ 이다.

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T/F: The Product Rule states that $\displaystyle \frac{d}{dx}\big(x^2\sin x\big) = 2x\cos x$ .

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한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 2.3절 · 13번우리말 번역

두 함수 $r(t) = t^t$ 와 $s(t) = \arccos(t)$ 를 생각하세요. 이 두 함수에 대해 $r'(t) = t^t(\ln(t) + 1)$ 이고 $s'(t) = -\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}$ 임이 주어져 있습니다. 이 도함수 공식이 어디에서 나오는지는 신경 쓰지 않아도 됩니다. 두 함수 모두 정의역을 $0 < t < 1$ 로 제한하여 생각합니다.

(a) $w(t) = t^t \arccos(t)$ 라고 하자. $w'(t)$ 를 구하세요. (b) $y = w(t)$ 위의 점 $(\frac{1}{2}, w(\frac{1}{2}))$ 에서의 접선의 방정식을 구하세요. (c) $v(t) = \frac{t^t}{\arccos(t)}$ 라고 하자. $t = \frac{1}{2}$ 인 순간에 $v$ 는 증가하나요, 감소하나요? 그 이유는 무엇인가요?

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(a) 곱의 미분법과 주어진 정보를 이용하면, $\begin{aligned}w'(t) &= \frac{d}{dt}\left(t^t\right)\cdot\left(\arccos t\right)+t^t\cdot\frac{d}{dt}\left(\arccos t\right) \\ &= t^t\left(\ln t+1\right)\cdot\left(\arccos t\right)+t^t\cdot\frac{-1}{\sqrt{1-t^2}}\end{aligned}$ 이다. (b) 국소선형근사 공식을 이용하면 $L(t) = w\left(\frac{1}{2}\right) + w'\left(\frac{1}{2}\right) \left(t-\frac{1}{2}\right)$ 이다. $w$ 와 $w'$ 의 식에 $t=\frac{1}{2}$ 을 대입하고 계산 도구를 사용하면 $w(2) = \left(\frac{1}{2}\right)^{\left(\frac{1}{2}\right)}\arccos\left(\frac{1}{2}\right) \approx 0.740$ 이고 $w'(2) = \left[\left(\frac{1}{2}\right)^{\left(\frac{1}{2}\right)}\left(\ln t+1\right)\cdot\left(\arccos \left(\frac{1}{2}\right)\right)+\left(\frac{1}{2}\right)^{\left(\frac{1}{2}\right)}\cdot\frac{-1}{\sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2}}\right] \approx -0.589\,$ 이다. 따라서 $L(t) \approx 0.740-0.589(t-0.5)$ 이다. (c) 몫의 미분법을 이용하면 $v'(t) = frac{(t)^{t}\left(\ln(t)+1\right)\left(\arccos(t)\right)-(t)^{t}\cdot\left(\frac{-1}{\sqrt{1-(t)^2}}\right)}{\arccos^2(t)}\,$ 이다. 계산 도구를 사용하여 $v'(2)$ 의 값을 구하면 $v'(2) \approx 0.952$ 이다. 이 값이 양수이므로 $t=\frac{1}{2}$ 에서 $v$ 의 순간변화율은 양수이고, 이는 그 순간에 $v$ 가 증가함을 뜻한다.

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# 곱과 몫의 미분법개념 확인자동 분류