함수의 그래프 그리기 연습문제 — APEX · 3.5절 · 5번

APEX · 3.5절 · 5번우리말 번역

참/거짓: 함수의 그래프를 그릴 때 수평 점근선과 수직 점근선을 찾는 것은 유용하다.

영어 원문 보기

T/F: When sketching graphs of functions, it is useful to find the horizontal and vertical asymptotes.

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한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 3.4절 · 6번우리말 번역

$p(x) = x^3-ax^2$ ( $a > 0$ )으로 주어진 한 매개변수 함수족을 생각하세요.

(a) 각 함수가 3차 다항식이며 $x = 0$ 에서 중복된 영점을, $x = a$ 에서 또 다른 영점을 갖는다는 사실을 이용하여, 이 함수족의 대표적인 한 함수의 그래프를 그리세요. (b) $p$ 의 모든 임계점을 구하세요. (c) $p''$ 을 구하고 $p''(x) = 0$ 인 모든 값을 구하세요. 이를 바탕으로 $p$ 의 이계도함수 부호표를 만드세요. (d) $a$ 가 변함에 따라 $p$ 의 임계점과 변곡점의 위치가 어떻게 변하는지 설명하세요. 즉, $a$ 의 값이 커지면 임계점과 변곡점은 어떻게 되는지 설명하세요.

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(a) $p(x) = x^3 - ax^2 = x^2(x-a)$ 로 쓰면 $x=0$ 과 $x=a$ 에서 $p(x) = 0$ 임을 알 수 있다. 또 모든 $x$ 에 대해 $x^2 \ge 0$ 이므로, $x < a$ 일 때마다 $p(x) \le 0$ 이고 모든 $x > a$ 에 대해 $p(x) > 0$ 임을 알 수 있다. 이러한 함수의 대표적인 예를 아래에 그렸다. x = 0 에서 중근을 갖고 x = a > 0 에서 단근을 갖는 3차 다항식이다. 이 그래프는 이 문제의 다른 부분에서 언급한 나머지 성질을 모두 반영한다. (b) $p$ 의 임계점을 구하기 위해 먼저 $p'(x)$ 를 구한다. $a$ 를 상수로 보면 $p'(x) = 3x^2 - 2ax = x(3x - 2a)$ 이다. 따라서 $p'(x) = 0$ 으로 놓으면 $x(3x-2a) = 0$ 이므로 $x = 0$ 과 $x = \frac{2a}{3}$ 가 $p$ 의 임계점이다. (c) $p''(x) = 6x - 2a$ 이므로 $p''(x) = 0$ 에서 $x = \frac{a}{3}$ 이다. $p''(x)$ 는 기울기가 양인 일차함수이므로 $x = \frac{a}{3}$ 에서 $p''(x)$ 의 부호가 음에서 양으로 바뀐다. 따라서 $p$ 는 $x < \frac{a}{3}$ 에서 위로 볼록, $x > \frac{a}{3}$ 에서 아래로 볼록이며, $x = \frac{a}{3}$ 는 $p$ 의 유일한 변곡점이다. (d) $x = 0$ 은 항상 $p$ 의 임계점이다. 그러나 $x = \frac{2a}{3}$ 에 있는 다른 임계점과 $x = \frac{a}{3}$ 에 있는 변곡점은 모두 $a$ 에 직접 의존함이 분명하다. $a$ 의 값을 키우면 이 임계점과 변곡점의 위치가 모두 $a$ 와 함께 오른쪽으로 이동한다.

이 문제로 이어서 풀기

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