급수의 수렴과 발산

반지름이 $R$ 인 원을 생각하자. 이 원에는 $\frac{R}{3}$ 에서 $\frac{2R}{3}$ 까지의 “안쪽 고리"와 $\frac{2R}{3}$ 에서 $R$ 까지의 “바깥쪽 고리"가 있다.

바깥쪽 고리의 넓이는 다음과 같다. $$\pi R^2 - \pi \left(\frac{2R}{3}\right)^2=\frac{5}{9}\pi R^2$$

안쪽 고리의 넓이는 다음과 같다. $$\pi \left(\frac{2R}{3}\right)^2 - \pi \left(\frac{R}{3}\right)^2=\frac{3}{9}\pi R^2$$

따라서 바깥쪽 고리의 넓이에 대한 안쪽 고리의 넓이의 비는 $\frac{3}{5}$ 이다.

과녁 그림에서 빨간 고리와 그 바로 안쪽에 있는 파란 고리를 짝지으면, 파란 고리의 넓이는 빨간 고리 넓이의 $\frac{3}{5}$ 이다. 그러므로 과녁의 파란색 부분의 넓이는 빨간색 부분 넓이의 $\frac{3}{5}$ 이다.

원의 넓이가 1이므로, 빨간색 부분의 넓이를 $A$ 라 하면 $$1=A+\frac{3}{5}A=\frac{8}{5}A$$ 이다.

따라서 빨간색 부분의 넓이는 $\frac{5}{8}$ 이다.