급수의 수렴과 발산 연습문제 — CLP-2 · 3.2절 · 33번

CLP-2 · 3.2절 · 33번우리말 번역

다음 방법으로 과녁을 만드세요.

넓이가 1인 빨간 원에서 시작하여, 반지름을 3등분해서 두 개의 고리와 하나의 원을 만든다. 가운데 고리를 파란색으로 칠한다.

안쪽 원에 대해서도 같은 방식을 계속한다. 그 반지름을 3등분하고, 가운데 고리를 파란색으로 칠한다.

이와 같이 끝없이 계속한다. 가장 안쪽 원의 반지름을 3등분하여 두 개의 고리와 또 하나의 원을 만들고, 가운데 고리를 파란색으로 칠한다.

빨간색 부분의 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

Create a bullseye using the following method:

Starting with a red circle of area 1, divide the radius into thirds, creating two rings and a circle. Colour the middle ring blue.

Continue the pattern with the inside circle: divide its radius into thirds, and colour the middle ring blue.

Continue in this way indefinitely: dividing the radius of the innermost circle into thirds, creating two rings and another circle, and colouring the middle ring blue.

What is the area of the red portion?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

반지름이 $R$ 인 원을 생각하자. 이 원에는 $\frac{R}{3}$ 에서 $\frac{2R}{3}$ 까지의 “안쪽 고리"와 $\frac{2R}{3}$ 에서 $R$ 까지의 “바깥쪽 고리"가 있다.

바깥쪽 고리의 넓이는 다음과 같다. $\pi R^2 - \pi \left(\frac{2R}{3}\right)^2=\frac{5}{9}\pi R^2$

안쪽 고리의 넓이는 다음과 같다. $\pi \left(\frac{2R}{3}\right)^2 - \pi \left(\frac{R}{3}\right)^2=\frac{3}{9}\pi R^2$

따라서 바깥쪽 고리의 넓이에 대한 안쪽 고리의 넓이의 비는 $\frac{3}{5}$ 이다.

과녁 그림에서 빨간 고리와 그 바로 안쪽에 있는 파란 고리를 짝지으면, 파란 고리의 넓이는 빨간 고리 넓이의 $\frac{3}{5}$ 이다. 그러므로 과녁의 파란색 부분의 넓이는 빨간색 부분 넓이의 $\frac{3}{5}$ 이다.

원의 넓이가 1이므로, 빨간색 부분의 넓이를 $A$ 라 하면 $1=A+\frac{3}{5}A=\frac{8}{5}A$ 이다.

따라서 빨간색 부분의 넓이는 $\frac{5}{8}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

We consider a circle of radius $R$ , with an “inner ring" from $\frac{R}{3}$ to $\frac{2R}{3}$ and an “outer ring" from $\frac{2R}{3}$ to $R$ .

The area of the outer ring is: $\pi R^2 - \pi \left(\frac{2R}{3}\right)^2=\frac{5}{9}\pi R^2$

The area of the inner ring is: $\pi \left(\frac{2R}{3}\right)^2 - \pi \left(\frac{R}{3}\right)^2=\frac{3}{9}\pi R^2$

So, the ratio of the inner ring's area to the outer ring's area is $\frac{3}{5}$ .

In our bullseye diagram, if we pair up any red ring with the blue ring just inside it, the blue ring has $\frac{3}{5}$ the area of the red ring. So, the blue portion of the bullseye has $\frac{3}{5}$ the area of the red portion.

Since the circle has area 1, if we let the red portion have area $A$ , then $1=A+\frac{3}{5}A=\frac{8}{5}A$

So, the red portion has area $\frac{5}{8}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.2절 · 27번우리말 번역

$\displaystyle\sum_{n=5}^\infty \log\left(\frac{n-3}{n}\right)$ 의 값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

로그의 성질을 이용하면 다음을 알 수 있다. $\displaystyle\sum_{n=5}^\infty \log\left(\frac{n-3}{n}\right)= \displaystyle\sum_{n=5}^\infty \big[\log(n-3)-\log n\big]$ 이는 망원급수처럼 보인다. 부분합을 알아보기 위해 표를 만들어 보자.

$\begin{array}{c||cc||c} \mathbf{n}&\mathbf{\log(n-3)}&\mathbf{-\log n}&\mathbf{s_n}\\[7pt] \hline 5&\log 2&-\log 5&\log 2 - \log 5\\[7pt] 6&\log 3&-\log 6&\log 2 +\log 3- \log 5-\log 6\\[7pt] 7&\log 4&-\log 7&\log 2 +\log 3+\log 4- \log 5-\log 6 -\log 7\\[7pt] 8&\log 5&-\log 8&\log 2 +\log 3+\log 4 -\log 6 -\log 7-\log 8\\[7pt] 9&\log 6&-\log 9&\log 2 +\log 3+\log 4 -\log 7-\log 8-\log 9\\[7pt] 10&\log 7&-\log 10&\log 2 +\log 3+\log 4 -\log 8-\log 9-\log 10\\[7pt] 11&\log 8&-\log 11&\log 2 +\log 3+\log 4 -\log 9-\log 10-\log 11\\[7pt] \vdots&&& \end{array}$

항들이 소거되기 전에 "지연"이 있으므로, 앞선 예에서 본 것보다 항들이 더 많이 "쌓인다". 그래도 $N$ 번째 부분합은 분명히 알 수 있다.

$\begin{aligned} \sum_{n=5}^N \Big(\log(n-3)-\log(n)\Big)&=\log 2+\log 3 + \log 4 - \log(N-2)-\log(N-1)-\log(N)\\ &=\log \left(\frac{24}{N(N-1)(N-2)}\right) \\ \text{$N \geq 7$ 일 때, 따라서} \\ \sum_{n=5}^\infty \Big(\log(n-3)-\log(n)\Big)&= \lim_{N \to \infty}s_N\\ &=\lim_{N \to \infty}\log \left(\frac{24}{N(N-1)(N-2)}\right) \\&=-\infty \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 급수의 수렴과 발산그래프·표 해석도전자동 분류