급수의 수렴과 발산 연습문제 — APEX · 8.2절 · 47번

APEX · 8.2절 · 47번우리말 번역

조화급수를 홀수번째 항과 짝수번째 항의 합으로 나누세요. $\sum_{n=1}^\infty \frac1n = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1}+\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n}.$ 목표는 오른쪽의 두 급수가 각각 발산함을 보이는 것입니다.

(a) 왜 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1}>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n}$ 인지 보이세요.

(각 $n^\text{th}$ 부분합을 비교하세요.) (b) 왜 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1}<1+\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n}$ 인지 보이세요. (c) (a)와 (b)가 홀수번째 항의 급수가 수렴하는 것과 짝수번째 항의 급수도 수렴하는 것이 서로 필요충분조건임을 어떻게 보여 주는지 설명하세요. (즉, 둘 다 수렴하거나 둘 다 발산함을 보이세요.) (d) 조화급수가 발산한다는 사실로부터 짝수번째 항의 급수와 홀수번째 항의 급수도 발산하게 되는 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Break the Harmonic Series into the sum of the odd and even terms: $\sum_{n=1}^\infty \frac1n = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1}+\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n}.$ The goal is to show that each of the series on the right diverge.

(a) Show why $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1}>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n}$ .

(Compare each $n^\text{th}$ partial sum.) (b) Show why $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1}<1+\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n}$ (c) Explain why (a) and (b) demonstrate that the series of odd terms is convergent, if, and only if, the series of even terms is also convergent. (That is, show both converge or both diverge.) (d) Explain why knowing the Harmonic Series is divergent determines that the even and odd series are also divergent.

정답·풀이 보기

(a) 홀수번째 항의 급수의 $n^\text{th}$ 부분합은 $1+\frac13+\frac15+\cdots+\frac{1}{2n-1}$ 이다. 짝수번째 항의 급수의 $n^\text{th}$ 부분합은 $\frac12+\frac14 + \frac16 + \cdots +\frac1{2n}$ 이다. 짝수번째 항의 급수의 각 항은 홀수번째 항의 급수에서 대응하는 항보다 작으므로 결과를 얻는다. (b) 홀수번째 항의 급수의 $n^\text{th}$ 부분합은 $1+\frac13+\frac15+\cdots+\frac1{2n-1}$ 이다. 1에 짝수번째 항의 급수를 더한 급수의 $n^\text{th}$ 부분합은 $1+\frac12+\frac14+\cdots + \frac{1}{2(n-1)}$ 이다. 이제 짝수번째 항의 급수의 각 항은 홀수번째 항의 급수에서 대응하는 항보다 크거나 같고, 첫째 항에서만 같다. 따라서 결과를 얻는다. (c) 홀수번째 항의 급수가 수렴하면 (a)의 풀이에 의해 짝수번째 항의 급수도 수렴한다. (짝수번째 항의 급수의 $n^\text{th}$ 부분합으로 이루어진 수열은 유계이고 단조증가한다.) 마찬가지로 (b)에 의해 짝수번째 항의 급수가 수렴하면 홀수번째 항의 급수도 수렴한다. 따라서 어느 한 급수가 수렴하면 다른 급수도 수렴한다.

비슷하게 (a)와 (b)를 이용하면, 어느 한 급수가 발산하면 다른 급수도 발산함을 보일 수 있다. (d) 짝수번째 항의 급수와 홀수번째 항의 급수가 모두 수렴한다면 두 급수의 합은 수렴하는 급수가 된다. 이는 두 급수의 합인 조화급수가 수렴한다는 뜻이 된다. 그러나 조화급수는 수렴하지 않는다. 그러므로 각 급수는 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The $n^\text{th}$ partial sum of the odd series is $1+\frac13+\frac15+\cdots+\frac{1}{2n-1}$ . The $n^\text{th}$ partial sum of the even series is $\frac12+\frac14 + \frac16 + \cdots +\frac1{2n}$ . Each term of the even series is less than the corresponding term of the odd series, giving us our result. (b) The $n^\text{th}$ partial sum of the odd series is $1+\frac13+\frac15+\cdots+\frac1{2n-1}$ . The $n^\text{th}$ partial sum of 1 plus the even series is $1+\frac12+\frac14+\cdots + \frac{1}{2(n-1)}$ . Each term of the even series is now greater than or equal to the corresponding term of the odd series, with equality only on the first term. This gives us the result. (c) If the odd series converges, the work done in (a) shows the even series converges also. (The sequence of the $n^\text{th}$ partial sum of the even series is bounded and monotonically increasing.) Likewise, (b) shows that if the even series converges, the odd series will, too. Thus if either series converges, the other does.

Similarly, (a) and (b) can be used to show that if either series diverges, the other does, too. (d) If both the even and odd series converge, then their sum would be a convergent series. This would imply that the Harmonic Series, their sum, is convergent. It is not. Hence each series diverges.

한 번 더 — 비슷한 문제APEX · 8.2절 · 3번우리말 번역

급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ 이 주어질 때, 이 급수와 관련된 중요한 두 수열을 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

하나는 항들의 수열 $\{a_n\}$ 이다. 다른 하나는 $n^\text{th}$ 부분합의 수열 $\{S_n\} = \{\sum_{i=1}^n a_i\}$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

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