발산 판정법과 적분 판정법 연습문제 — APEX · 8.3절 · 41번

APEX · 8.3절 · 41번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ 이 수렴한다고 할 때, 다음 급수 중 어느 것이 수렴하는지, 수렴할 수도 있는지, 수렴하지 않는지 말하세요.

(a) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}n$ (b) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_na_{n+1}$ (c) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (a_n)^2$ (d) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty na_n$ (e) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a_n}$

영어 원문 보기

Given that $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ converges, state which of the following series converges, may converge, or does not converge.

정답·풀이 보기

(a) 수렴한다. $\frac{a_n}{n}<a_n$ 이므로 비교판정법을 쓴다. (b) 수렴한다. 원래 급수가 수렴하므로 $\lim_{n\to\infty}a_n = 0$ 임을 안다. 따라서 충분히 큰 $n$ 에 대해 $a_na_{n+1} < a_n$ 이다. (c) 수렴한다. (b)와 비슷한 논리로 $(a_n)^2<a_n$ 이다. (d) 수렴할 수도 있다. 분명히 $na_n > a_n$ 이지만, 그렇다고 해서 수렴하지 않는다는 뜻은 아니다. (e) 수렴하지 않는다. (b)의 논리와 $n^{th}$ 항 판정법을 이용한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Converges; use Direct Comparison Test as $\frac{a_n}{n}<a_n$ . (b) Converges; since original series converges, we know $\lim_{n\to\infty}a_n = 0$ . Thus for large $n$ , $a_na_{n+1} < a_n$ . (c) Converges; similar logic to part (b) so $(a_n)^2<a_n$ . (d) May converge; certainly $na_n > a_n$ but that does not mean it does not converge. (e) Does not converge, using logic from (b) and $n^{th}$ Term Test.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.3절 · 30번우리말 번역

다음 합을 $p$ -급수로 나타내고, 각각 수렴하는지 판단하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }n{2}^{-2\ln n}$

다 풀었으면 정답 확인

${2}^{-2\ln n}=1/{n}^{2\ln 2}.$ $2\ln 2-1<1$ 이므로 $p$ -급수에 의해 발산한다.

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