멱급수와 수렴 반경 연습문제 — APEX · 8.6절 · 4번

APEX · 8.6절 · 4번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 의 수렴 반지름이 5이면, $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (-1)^na_nx^n$ 의 수렴 반지름은 얼마인가요?

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If the radius of convergence of $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ is 5, what is the radius of convergence of $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (-1)^na_nx^n$ ?

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한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.5절 · 22번우리말 번역

$\big\{a_n \big\}$ 은 어떤 실수 $C > 0$ 에 대해 $n \rightarrow\infty$ 일 때 $na_n$ 이 $C$ 로 감소하는 수열이라고 하자.

(a) $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty a_n x^n$ 의 수렴 반지름을 구하세요. 답의 근거를 꼼꼼히 설명하세요.

(b) 위 거듭제곱급수의 수렴 구간, 즉 (a)의 거듭제곱급수가 수렴하는 모든 $x$ 를 구하세요. 답의 근거를 꼼꼼히 설명하세요.

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(a) 수렴 반지름 $R$ 은 다음을 만족한다.

$\begin{aligned} \frac{1}{R} = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{n+1}\ \frac{(n+1)a_{n+1}}{na_n} = 1 \frac{C}{C} = 1 \end{aligned}$

이는 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} na_n=C$ 라고 주어졌기 때문이다. 따라서 $R=1$ 이다.

(b) 수렴 반지름이 $1$ 임을 알면, 급수는 $|x|<1$ 에서 수렴하고 $|x|>1$ 에서 발산한다. 남은 것은 $x\pm 1$ 인 경우이다.

$x=+1$ 일 때 급수는 $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ 이 된다. $na_n$ 이 $C>0$ 으로 감소한다고 주어졌으므로 $a_n\ge \frac{C}{n}$ 이다. $p=1$ 인 $p$ -판정법에 의해 발산하는 조화급수 $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ 과 비교판정법을 쓰면, $x=1$ 일 때 이 급수는 발산한다.

$x=-1$ 일 때 급수는 $\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n a_n$ 이 된다. $na_n$ 이 $C>0$ 으로 감소한다고 주어졌으므로 $a_n>0$ 이고 $n\rightarrow\infty$ 일 때 $a_n$ 은 $0$ 으로 수렴한다. 따라서 $\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n a_n$ 은 교대급수판정법에 의해 수렴한다.

결론적으로 $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n x^n$ 은 $-1\le x< 1$ 에서 수렴한다.

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