벡터함수의 미분과 적분

(a) $y=\sqrt{x}$ 이고 $z=\frac{2}{3}xy=\frac{2}{3}x^{3/2}$ 이므로,

$$\begin{aligned} \mathbf{r}(x)&=x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\sqrt{x}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{2}{3}x^{3/2}\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$$

이 문제의 나머지 부분을 위해 다음도 필요하다.

$$\begin{aligned} \mathbf{r}'(x)&=\hat{\boldsymbol{\imath}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\sqrt{x}\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}''(x)&=-\frac{1}{4x^{3/2}}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\,\hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}=|\mathbf{r}'(x)| &=\sqrt{1+\frac{1}{4x}+x} =\sqrt{\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\right)^2} =\frac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}(1)&=\frac{3}{2} \end{aligned}$$

(b)

$$\int_C \ ds =\int_0^9 \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}\ \mathrm{d}x =\int_0^9 \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\right)\ \mathrm{d}x =\left[\sqrt{x}+\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_0^9 =3+18 =21$$

(c) 다음과 같이 놓는다.

• $\mathbf{r}(x)$: 입자의 첫째 좌표가 $x$ 일 때의 위치,
• $\mathbf{R}(t)$: 시각 $t$ 에서의 입자의 위치,
• $x(t)$: 시각 $t$ 에서의 입자의 $x$–좌표,
• $s(x)$: 원점에서 $\mathbf{r}(x)$ 까지의 곡선의 길이.

모든 $t$ 에 대해 $|\mathbf{R}'(t)|=9$ 임이 주어져 있다. 따라서

$$\begin{aligned} \mathbf{R}(t)=\mathbf{r}\big(x(t)\big)&\implies \mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) \\ &\implies 9=|\mathbf{R}'(t)|=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}\big(x(t)\big) \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) =\left(\frac{1}{2\sqrt{x(t)}}+\sqrt{x(t)}\right)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) \end{aligned}$$

특히 입자가 시각 $0$ 에 $(1,1,\frac{2}{3})$ 에 있다면 $x(0)=1$ 이고

$$9=\left(\frac{1}{2\sqrt{1}}+\sqrt{1}\right)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(0) \implies \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(0)=6$$

이므로

$$\mathbf{R}'(0)=\mathbf{r}'(1)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(0) =\left(\hat{\boldsymbol{\imath}}+\frac{1}{2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}}\right)6 =\ 6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+3\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}$$

이다.

(d) 곱의 미분법과 연쇄 법칙에 의해,

$$\mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t)\implies \mathbf{R}''(t)=\mathbf{r}''\big(x(t)\big)\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t)\right)^2 +\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}(t)$$

(c)에서 $9=|\mathbf{R}'(t)|=\Big(\frac{1}{2\sqrt{x(t)}}+\sqrt{x(t)}\Big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t)$ 임을 보았으므로

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t)=9\left(\frac{1}{2\sqrt{x(t)}}+\sqrt{x(t)}\right)^{-1}$$

이다. 이를 미분하면

$$\frac{d^2x}{dt^2}(t)=-9\left(\frac{1}{2\sqrt{x(t)}}+\sqrt{x(t)}\right)^{-2} \left(-\frac{1}{4x(t)^{3/2}}+\frac{1}{2\sqrt{x(t)}}\right)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t)$$

이다. 특히 $t=0$ 일 때 $x(0)=1$ 이고 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(0)=6$ 이므로

$$\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}(0)=-9\left(\frac{3}{2}\right)^{-2} \left(\frac{1}{4}\right)6=-6$$

이고, 따라서

$$\begin{aligned} \mathbf{R}''(0)&=\mathbf{r}''(1)\ \big(6\big)^2+\mathbf{r}'(1)\big(-6\big) =36\left(-\frac{1}{4}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}}\right) -6\left(\hat{\boldsymbol{\imath}}+\frac{1}{2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}}\right) \\ &=-6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-12\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+12\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$$

이다.