단위접선·법선벡터

먼저 준비 계산을 한다:

$$\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&=(t^3,t,e^{ct}) & \mathbf{r}(5)&=(5^3,5,e^{5c})\\ \mathbf{v}(t)&=(3t^2,1,ce^{ct}) & \mathbf{v}(5)&=(3\cdot 5^2,1,ce^{5c})\\ \mathbf{a}(t)&=(6t,0,c^2e^{ct}) & \mathbf{a}(5)&=(6\cdot 5,0,c^2e^{5c}) \\ \frac{\mathrm{d}\mathbf{a}}{\mathrm{d}t}(t)&= (6,0,c^3e^{ct})& \frac{\mathrm{d}\mathbf{a}}{\mathrm{d}t}(5)&= (6,0,c^3e^{5c})\\ && \mathbf{v}(5) \times \mathbf{a}(5)&=(c^2e^{5c},15ce^{5c}(2-5c),-30) \end{aligned}$$

둘째, $\tau(5)=0$ 이 되게 하는 $c$ 의 값을 구한다.

$$\begin{aligned} 0&=\tau(5)=\dfrac{(\mathbf{v}(5) \times \mathbf{a}(5))\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{a}}{\mathrm{d}t}(5)}{|\mathbf{v}(5) \times \mathbf{a}(5)|^2}\\ 0&=(\mathbf{v}(5)\times\mathbf{a}(5))\cdot \frac{\mathrm{d}\mathbf{a}}{\mathrm{d}t}(5)\\ &=(c^2e^{5c},15ce^{5c}(2-5c),-30)\cdot (6,0,c^3e^{5c})\\ &=6c^2e^{5c}(1-5c)\\ c&=0 \text{ 또는 } c=\frac15 \end{aligned}$$

$c=0$ 이면 $\mathbf{r}(t)=(t^3,t,1)$ 이므로 곡선 전체가 평면 $z=1$ 위에 놓인다. (꼬임률은 $t=5$ 에서만이 아니라 모든 곳에서 0이다.)

$c=\frac15$ 인 경우를 생각하자. $t=5$ 일 때, 곡선(과 그 접촉원)은 점 $\mathbf{r}(5)=(5^3,5,e)$ 를 지난다. 접촉원이 놓인 평면의 법선벡터는 종법선벡터 $\hat{\mathbf{B}}(5)=\frac{\mathbf{v}(5)\times \mathbf{a}(5)}{|\mathbf{v}(5)\times \mathbf{a}(5)|}$ 이다. 평면의 법선벡터가 단위벡터일 필요는 없으므로, 평면의 법선벡터로 간단히 $\mathbf{v}(5) \times \mathbf{a}(5)$, 즉 $(e/25,3e,-30)$ 을 택할 수 있다. 그러면 접촉원을 포함하는 평면의 방정식은 $(e/25)x+(3e)y-30z=-10e$ 이다. 이 평면의 같은 방정식은 $(1/25)x+3y-(30/e)z=-10$ 이다.