접평면과 선형근사

(a) 주어진 그래프는 $z=f(x,y)=x^2-y^2$ 또는 $F(x,y,z)=x^2-y^2-z=0$ 이다. $f(-2,1)=3$ 임을 알 수 있다. 벡터

$$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } F(-2,1,3) &= \left< F_x(x,y,z),F_y(x,y,z),F_z(x,y,z)\right>\Big|_{(x,y,z)=(-2,1,3)} \\ &= \left< 2x,-2y,-1\right>\Big|_{(x,y,z)=(-2,1,3)} \\ &= \left< -4,-2,-1\right> \end{aligned}$$

는 $(-2,1,3)$ 에서 그래프의 법선 벡터이다. 따라서 접평면은

$$-4(x+2)-2(y-1)-(z-3)=0\text{ 또는 } 4x+2y+z=-3$$

이고, 법선은

$$\left< x,y,z\right>=\left< -2,1,3\right>+t\left< 4,2,1\right>$$

이다.

(b) 주어진 그래프는 $z=f(x,y)=e^{xy}$ 또는 $F(x,y,z)=e^{xy}-z=0$ 이다. $f(2,0)=1$ 임을 알 수 있다. 벡터

$$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } F(2,0,1) &= \left< F_x(x,y,z),F_y(x,y,z),F_z(x,y,z)\right>\Big|_{(x,y,z)=(2,0,1)} \\ &= \left< ye^{xy},xe^{xy},-1\right>\Big|_{(x,y,z)=(2,0,1)} \\ &= \left< 0,2,-1\right> \end{aligned}$$

는 $(2,0,1)$ 에서 그래프의 법선 벡터이다. 따라서 접평면은

$$0(x-2)+2(y-0)-(z-1)=0\text{ 또는 } 2y-z=-1$$

이고, 법선은

$$\left< x,y,z\right>=\left< 2,0,1\right>+t\left< 0,2,-1\right>$$

이다.