접평면과 선형근사 연습문제 — CLP-3 · 2.5절 · 7번

CLP-3 · 2.5절 · 7번대학 수준우리말 번역

지정된 점에서 지정된 함수의 그래프에 대한 접평면의 방정식과 법선의 방정식을 구하세요.

(a) $f(x,y)=x^2-y^2$ , 점 $(-2,1)$ (b) $f(x,y)=e^{xy}$ , 점 $(2,0)$

영어 원문 보기

Find the equations of the tangent plane and the normal line to the graph of the specified function at the specified point.

(a) $f(x,y)=x^2-y^2$ at $(-2,1)$ (b) $f(x,y)=e^{xy}$ at $(2,0)$

정답·풀이 보기

(a) 주어진 그래프는 $z=f(x,y)=x^2-y^2$ 또는 $F(x,y,z)=x^2-y^2-z=0$ 이다. $f(-2,1)=3$ 임을 알 수 있다. 벡터

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } F(-2,1,3) &= \left< F_x(x,y,z),F_y(x,y,z),F_z(x,y,z)\right>\Big|_{(x,y,z)=(-2,1,3)} \\ &= \left< 2x,-2y,-1\right>\Big|_{(x,y,z)=(-2,1,3)} \\ &= \left< -4,-2,-1\right> \end{aligned}$

는 $(-2,1,3)$ 에서 그래프의 법선 벡터이다. 따라서 접평면은

$-4(x+2)-2(y-1)-(z-3)=0\text{ 또는 } 4x+2y+z=-3$

이고, 법선은

$\left< x,y,z\right>=\left< -2,1,3\right>+t\left< 4,2,1\right>$

이다.

(b) 주어진 그래프는 $z=f(x,y)=e^{xy}$ 또는 $F(x,y,z)=e^{xy}-z=0$ 이다. $f(2,0)=1$ 임을 알 수 있다. 벡터

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } F(2,0,1) &= \left< F_x(x,y,z),F_y(x,y,z),F_z(x,y,z)\right>\Big|_{(x,y,z)=(2,0,1)} \\ &= \left< ye^{xy},xe^{xy},-1\right>\Big|_{(x,y,z)=(2,0,1)} \\ &= \left< 0,2,-1\right> \end{aligned}$

는 $(2,0,1)$ 에서 그래프의 법선 벡터이다. 따라서 접평면은

$0(x-2)+2(y-0)-(z-1)=0\text{ 또는 } 2y-z=-1$

이고, 법선은

$\left< x,y,z\right>=\left< 2,0,1\right>+t\left< 0,2,-1\right>$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The specified graph is $z=f(x,y)=x^2-y^2$ or $F(x,y,z)=x^2-y^2-z=0$ . Observe that $f(-2,1)=3$ . The vector

is a normal vector to the graph at $(-2,1,3)$ . So the tangent plane is

$-4(x+2)-2(y-1)-(z-3)=0\text{ or } 4x+2y+z=-3$

and the normal line is

$\left< x,y,z\right>=\left< -2,1,3\right>+t\left< 4,2,1\right>$

(b) The specified graph is $z=f(x,y)=e^{xy}$ or $F(x,y,z)=e^{xy}-z=0$ . Observe that $f(2,0)=1$ . The vector

is a normal vector to the graph at $(2,0,1)$ . So the tangent plane is

$0(x-2)+2(y-0)-(z-1)=0\text{ or } 2y-z=-1$

and the normal line is

$\left< x,y,z\right>=\left< 2,0,1\right>+t\left< 0,2,-1\right>$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.5절 · 1번우리말 번역

곡면 $x^2+y^2+(z-1)^2=1$ 과 $x^2+y^2+(z+1)^2=1$ 이 $(0,0,0)$ 에서 서로 접한다고 말하는 것이 타당한가요?

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$F(x,y,z) = x^2+y^2+(z-1)^2-1$ , $G(x,y,z) = x^2+y^2+(z+1)^2-1$ 이라 하자. 곡면 $F(x,y,z)=0$ 을 $S_1$ , 곡면 $G(x,y,z)=0$ 을 $S_2$ 라 하자. 먼저 $F(0,0,0)=G(0,0,0)=0$ 이므로 점 $(0,0,0)$ 은 $S_1$ 과 $S_2$ 위에 모두 있다. $F$ 와 $G$ 의 그래디언트는 다음과 같다.

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } F(x,y,z) &=\left<\frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z)\,,\, \frac{\partial F}{\partial y}(x,y,z)\,,\, \frac{\partial F}{\partial z}(x,y,z)\right> =\left< 2x\,,\,2y\,,\,2(z-1)\right> \\ { \boldsymbol{\nabla} } G(x,y,z) &=\left<\frac{\partial G}{\partial x}(x,y,z)\,,\, \frac{\partial G}{\partial y}(x,y,z)\,,\, \frac{\partial G}{\partial z}(x,y,z)\right> =\left< 2x\,,\,2y\,,\,2(z+1)\right> \end{aligned}$

특히,

${ \boldsymbol{\nabla} } F(0,0,0)=\left< 0,0,-2\right>\qquad { \boldsymbol{\nabla} } G(0,0,0)=\left< 0,0,2\right>$

이므로 벡터 $\hat{\mathbf{k}}=-\frac{1}{2}{ \boldsymbol{\nabla} } F(0,0,0) =\frac{1}{2}{ \boldsymbol{\nabla} } G(0,0,0)$ 은 $(0,0,0)$ 에서 두 곡면에 모두 수직이다. 따라서 $(0,0,0)$ 에서 $S_1$ 과 $S_2$ 의 접평면은 모두

$\hat{\mathbf{k}}\cdot\left< x-0,y-0,z-0\right>=0\qquad\text{또는}\qquad z=0$

이다.

평면 $z=0$ 을 $P$ 라 하자. 그러면 $S_1$ 은 $(0,0,0)$ 에서 $P$ 에 접하고, $P$ 는 $(0,0,0)$ 에서 $S_2$ 에 접한다. 따라서 $S_1$ 과 $S_2$ 가 $(0,0,0)$ 에서 접한다고 말하는 것은 타당하다.

이 문제로 이어서 풀기

# 접평면과 선형근사그래프·표 해석보통자동 분류