방향도함수와 기울기벡터

(a) 어떤 상수 $k$ 에 대하여 $T(x,y,z)=\frac{k}{|\left< x,y,z\right>|} =\frac{k}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$ 이고,

$$120=T(1,2,2)=\frac{k}{|\left< 1,2,2\right>|} \implies k=120\times\sqrt{1+2^2+2^2} = 360$$

이다.

(b) $(1,2,2)$ 에서 $(2,1,3)$ 으로 향하는 (단위)방향은 $\mathbf{d}=\frac{\left< 2,1,3\right>-\left< 1,2,2\right>}{|\left< 2,1,3\right>-\left< 1,2,2\right>|} =\frac{\left< 1,-1,1\right>}{|\left< 1,-1,1\right>|}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left< 1,-1,1\right>$ 이다. 따라서 구하는 온도의 변화율은

$$\begin{aligned} D_{\mathbf{d}} T(1,2,2) &={ \boldsymbol{\nabla} } T(1,2,2)\cdot\mathbf{d} =-360\frac{x\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z\hat{\mathbf{k}}}{{(x^2+y^2+z^2)}^{3/2}}\Big|_{\left< 1,2,2\right>}\cdot\mathbf{d} \\ &=-360\frac{\left< 1,2,2\right>}{27}\cdot\frac{\left< 1,-1,1\right>}{\sqrt{3}} =-\frac{40}{3\sqrt{3}}\approx-7.70 \end{aligned}$$

이고, 단위 거리당 도이다.

(c) $(x,y,z)$ 에서 온도가 가장 크게 증가하는 방향은 $(x,y,z)$ 에서의 온도 기울기(그레이디언트)의 방향이며, 이는 ${ \boldsymbol{\nabla} } T(x,y,z) =-360\frac{x\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z\hat{\mathbf{k}}}{{(x^2+y^2+z^2)}^{3/2}}$ 이고, 반지름 벡터와 반대 방향을 가리킨다. 즉, 원점을 향한다. 이 논증은 $(x,y,z)=(0,0,0)$ 에서만 성립하지 않는데, 그 점에서는 기울기뿐 아니라 $T(x,y,z)$ 도 정의되지 않기 때문이다.