방향도함수와 기울기벡터 연습문제 — APEX · 12.6절 · 4번

APEX · 12.6절 · 4번대학 수준우리말 번역

곡면 위의 한 점에서 곡면에 대한 접선을 '하나의 접선'이라고 부르지 않고 곡면에 대한 방향 접선들이라고 부르는 이유를 자신의 말로 설명하세요.

영어 원문 보기

Explain in your own words why we do not refer to the tangent line to a surface at a point, but rather to directional tangent lines to a surface at a point.

정답·풀이 보기

한 점을 지나는 곡면 위에는 매끄러운 곡선이 여러 개 있으며, 각 곡선은 그 점에서 접선을 갖는다. 이 접선들은 모두 곡면에 "접"하기도 한다. 접선은 하나만 있는 것이 아니라 여러 개이고, 각각 서로 다른 방향을 향한다. 따라서 하나의 접선이라고 하지 않고 방향 접선들이라고 부른다.

원본 교재 풀이(영어)

On a surface through a point, there are many different smooth curves, each with a tangent line at the point. Each of these tangent lines is also “tangent” to the surface. There is not just one tangent line, but many, each in a different direction. Therefore we refer to directional tangent lines, not just the tangent line.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.7절 · 20번우리말 번역

언덕의 모양이 $z = 1000 - 0.02x^2 - 0.01y^2$ 으로 주어져 있다. $x$ –축은 동쪽을, $y$ –축은 북쪽을 향하고, 모든 거리의 단위는 미터(m)라고 하자.

(a) 점 $(0, 100, 900)$ 에서 가장 가파르게 올라가는 방향은 어느 쪽인가요? (답은 나침반의 방위로 나타내세요.) (b) (a)의 방향으로 점 $(0, 100, 900)$ 에서 언덕의 기울기를 구하세요. (c) 이 언덕에서 가장 가파르게 내려가는 방향으로 자전거를 속력 $5$ m/s 로 타고 갈 때, 점 (0, 100, 900) 을 지나는 순간 (시간에 대한) 고도의 변화율을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$h(x,y) = 1000 -0.02\,x^2-0.01 y^2$ 으로 놓으면 언덕은 $z=h(x,y)$ 이다.

(a) 점 $(0,100,900)$ 에서 가장 가파르게 올라가는 방향은 $(0,100)$ 에서 $h(x,y)$ 의 증가율이 최대인 방향이다. 이는 ${ \boldsymbol{\nabla} } h(0,100) = \left< 0\,,\, -0.01(2)(100)\right> = \left< 0\,,\,-2\right>$ 이다. 나침반의 방위로는 남쪽이다.

(b) 그곳에서 언덕의 기울기는 다음과 같다.

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } h(0,100)\cdot\left< 0,-1\right> =-\frac{\partial h}{\partial y}(0,100) = 2 \end{aligned}$

언덕 위에 있으므로 $z(t) = 1000 -0.02\,x(t)^2-0.01 y(t)^2$ 이고, 따라서 $z'(t) = -0.04\,x(t)x'(t)-0.02 y(t)y'(t)$ 이다.
가장 가파르게 내려가는 방향으로 가고 있으므로 $x'(0)=0$ 이고 $y'(0)>0$ 이다.
속력 $5$ 로 움직이므로 $x'(0)^2+y'(0)^2+z'(0)^2=25$ 이다.

$x(0)$ 와 $y(0)=100$ 이므로 $z'(0)= -0.02(100)y'(0) = -2y'(0)$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} 25 = x'(0)^2+y'(0)^2+z'(0)^2 =5\ y'(0)^2 &\implies y'(0) = \sqrt{5} \\ &\implies \left< x'(0)\,,\,y'(0)\,,\,z'(0) \right> =\left< 0\,,\, \sqrt{5}\,,\, -2\sqrt{5}\right> \end{aligned}$

이고, 고도의 변화율은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} h\big(x(t)\,,\,y(t)\big)\Big|_{t=0} &={ \boldsymbol{\nabla} } h(0,100)\cdot \left< x'(0)\,,\,y'(0) \right> =\left< 0\,,\,-2\right> \cdot \left< 0\,,\, \sqrt{5}\right> =-2\sqrt{5} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 방향도함수와 기울기벡터개념 확인자동 분류