접평면과 선형근사

$(x_0,y_0,z_0)$ 을 쌍곡면 $z^2=4x^2+y^2-1$ 위의 점으로서 접평면이 평면 $2x-y+z=0$ 과 평행한 점이라 하자. 평면 $2x-y+z=0$ 의 법선벡터는 $\left< 2,-1,1\right>$ 이다. 쌍곡면은 $G(x,y,z)=4x^2+y^2-z^2-1$ 이고 ${ \boldsymbol{\nabla} } G(x,y,z) = \left< 8x,2y,-2z\right>$ 이므로, $(x_0,y_0,z_0)$ 에서 쌍곡면의 법선벡터는 ${ \boldsymbol{\nabla} } G(x_0,y_0,z_0)=\left< 8x_0,2y_0,-2z_0\right>$ 이다. 따라서 $(x_0,y_0,z_0)$ 이 주어진 조건을 만족할 필요충분조건은 다음을 만족하는 0이 아닌 $t$ 가 존재하는 것이다.

$$\begin{aligned} &\left< 8x_0,2y_0,-2z_0\right> =t\left< 2,-1,1\right> \text{ 그리고 } z_0^2=4x_0^2+y_0^2-1\\ &\iff x_0=\frac{t}{4},\ y_0=z_0=-\frac{t}{2}\text{ 그리고 } z_0^2=4x_0^2+y_0^2-1\\ &\iff \frac{t^2}{4}= \frac{t^2}{4}+ \frac{t^2}{4}-1\text{ 그리고 } x_0=\frac{t}{4},\ y_0=z_0=-\frac{t}{2}\\ & \iff t=\pm 2\qquad (x_0,y_0,z_0)=\pm \big(\tfrac{1}{2},-1,-1\big) \end{aligned}$$