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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다변수 미분

접평면과 선형근사

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 2.5절 · 13번대학 수준우리말 번역

쌍곡면 z2=4x2+y2−1z^2=4x^2+y^2-1 위의 점 중에서 접평면이 평면 2x−y+z=02x-y+z=0 과 평행한 점을 모두 구하세요.

영어 원문 보기

Find all points on the hyperboloid z2=4x2+y2−1z^2=4x^2+y^2-1 where the tangent plane is parallel to the plane 2x−y+z=02x-y+z=0.

정답·풀이 보기

(x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) 을 쌍곡면 z2=4x2+y2−1z^2=4x^2+y^2-1 위의 점으로서 접평면이 평면 2x−y+z=02x-y+z=0 과 평행한 점이라 하자. 평면 2x−y+z=02x-y+z=0 의 법선벡터는 <2,−1,1>\left< 2,-1,1\right> 이다. 쌍곡면은 G(x,y,z)=4x2+y2−z2−1G(x,y,z)=4x^2+y^2-z^2-1 이고 ∇G(x,y,z)=<8x,2y,−2z>{ \boldsymbol{\nabla} } G(x,y,z) = \left< 8x,2y,-2z\right> 이므로, (x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) 에서 쌍곡면의 법선벡터는 ∇G(x0,y0,z0)=<8x0,2y0,−2z0>{ \boldsymbol{\nabla} } G(x_0,y_0,z_0)=\left< 8x_0,2y_0,-2z_0\right> 이다. 따라서 (x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) 이 주어진 조건을 만족할 필요충분조건은 다음을 만족하는 0이 아닌 tt 가 존재하는 것이다.

<8x0,2y0,−2z0>=t<2,−1,1> 그리고 z02=4x02+y02−1  ⟺  x0=t4, y0=z0=−t2 그리고 z02=4x02+y02−1  ⟺  t24=t24+t24−1 그리고 x0=t4, y0=z0=−t2  ⟺  t=±2(x0,y0,z0)=±(12,−1,−1)\begin{aligned} &\left< 8x_0,2y_0,-2z_0\right> =t\left< 2,-1,1\right> \text{ 그리고 } z_0^2=4x_0^2+y_0^2-1\\ &\iff x_0=\frac{t}{4},\ y_0=z_0=-\frac{t}{2}\text{ 그리고 } z_0^2=4x_0^2+y_0^2-1\\ &\iff \frac{t^2}{4}= \frac{t^2}{4}+ \frac{t^2}{4}-1\text{ 그리고 } x_0=\frac{t}{4},\ y_0=z_0=-\frac{t}{2}\\ & \iff t=\pm 2\qquad (x_0,y_0,z_0)=\pm \big(\tfrac{1}{2},-1,-1\big) \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

Let (x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) be a point on the hyperboloid z2=4x2+y2−1z^2=4x^2+y^2-1 where the tangent plane is parallel to the plane 2x−y+z=02x-y+z=0. A normal vector to the plane 2x−y+z=02x-y+z=0 is <2,−1,1>\left< 2,-1,1\right>. Because the hyperboloid is G(x,y,z)=4x2+y2−z2−1G(x,y,z)=4x^2+y^2-z^2-1 and ∇G(x,y,z)=<8x,2y,−2z>{ \boldsymbol{\nabla} } G(x,y,z) = \left< 8x,2y,-2z\right>, a normal vector to the hyperboloid at (x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) is ∇G(x0,y0,z0)=<8x0,2y0,−2z0>{ \boldsymbol{\nabla} } G(x_0,y_0,z_0)=\left< 8x_0,2y_0,-2z_0\right>. So (x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) satisfies the required conditions if and only if there is a nonzero tt obeying

<8x0,2y0,−2z0>=t<2,−1,1> and z02=4x02+y02−1  ⟺  x0=t4, y0=z0=−t2 and z02=4x02+y02−1  ⟺  t24=t24+t24−1 and x0=t4, y0=z0=−t2  ⟺  t=±2(x0,y0,z0)=±(12,−1,−1)\begin{aligned} &\left< 8x_0,2y_0,-2z_0\right> =t\left< 2,-1,1\right> \text{ and } z_0^2=4x_0^2+y_0^2-1\\ &\iff x_0=\frac{t}{4},\ y_0=z_0=-\frac{t}{2}\text{ and } z_0^2=4x_0^2+y_0^2-1\\ &\iff \frac{t^2}{4}= \frac{t^2}{4}+ \frac{t^2}{4}-1\text{ and } x_0=\frac{t}{4},\ y_0=z_0=-\frac{t}{2}\\ & \iff t=\pm 2\qquad (x_0,y_0,z_0)=\pm \big(\tfrac{1}{2},-1,-1\big) \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.5절 · 11번우리말 번역

곡면 x2+9y2+4z2=17x^2 + 9y^2 + 4z^2 = 17 위의 점 중에서 접평면이 평면 x−8z=0x - 8z = 0 과 평행한 점을 모두 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

곡면 x2+9y2+4z2=17x^2 + 9y^2 + 4z^2 = 17 의 점 (x,y,z)(x,y,z) 에서의 법선벡터는 <2x , 18y , 8z>\left< 2x\,,\, 18y\,,\,8z\right> 이다. 평면 x−8z=0x - 8z = 0 의 법선벡터는 <1 , 0 , −8>\left< 1\,,\,0\,,\,-8\right> 이다. 따라서 <2x , 18y , 8z>\left< 2x\,,\, 18y\,,\,8z\right> 가 <1 , 0 , −8>\left< 1\,,\,0\,,\,-8\right> 과 평행해야 하며, 즉 <1 , 0 , −8>\left< 1\,,\,0\,,\,-8\right> 의 0이 아닌 상수배여야 한다. 이는 x≠0x\ne 0 이고 y=0y=0, z=−2xz=-2x 일 때마다 성립한다. 또한 (x,y,z)(x,y,z) 가 곡면 x2+9y2+4z2=17x^2 + 9y^2 + 4z^2 = 17 위에 있어야 한다. 따라서 y=0y=0, z=−2xz=-2x 이고

17=x2+9y2+4z2=x2+4(−2x)2=17x2  ⟹  x=±1\begin{aligned} 17= x^2 + 9y^2 + 4z^2 =x^2 +4(-2x)^2=17x^2 \implies x=\pm 1 \end{aligned}

이어야 한다.

따라서 조건을 만족하는 점은 ±(1,0,−2)\pm(1,0,-2) 이다.

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