극값과 안장점 연습문제 — APEX · 12.8절 · 1번

APEX · 12.8절 · 1번대학 수준우리말 번역

$z=f(x,y)$ 의 등위곡선이 $x=g(t)$ , $y = h(t)$ 로 나타내어진다고 하자. $\frac{dz}{dt}=0$ 인 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Let a level curve of $z=f(x,y)$ be described by $x=g(t)$ , $y = h(t)$ . Explain why $\frac{dz}{dt}=0$ .

정답·풀이 보기

매개변수 방정식이 등위곡선을 나타내므로 모든 $t$ 에 대해 $z$ 는 상수이다. 따라서 $\frac{dz}{dt}=0$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Because the parametric equations describe a level curve, $z$ is constant for all $t$ . Therefore $\frac{dz}{dt}=0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.9절 · 8번우리말 번역

평면 $2x + y + z = 5$ 중에서 $x \ge 0$ , $y \ge 0$ , $z \ge 0$ 인 부분에서 $x^2 y^2 z$ 의 최댓값과 최솟값을 구하세요. 또한 그 극값이 나타나는 모든 점을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

생각하는 영역은 다음과 같다.

$D=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x\ge 0,\ y\ge 0,\ z\ge 0,\ 2x+y+z=5\ \big\}$

먼저 이 영역의 경계에서는 $x$ , $y$ , $z$ 중 적어도 하나가 0 임에 주목한다. 따라서 $f(x,y,z)=x^2 y^2 z$ 는 경계에서 0 이다. $D$ 의 경계가 아닌 모든 점에서 $f$ 의 값은 0 보다 크므로, $f$ 의 최솟값은 $0$ 이고 그 값은 다음 집합의 모든 점에서 나타난다.

$\partial D = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x\ge 0,\ y\ge 0,\ z\ge 0,\ 2x+y+z=5,\ \text{$x,y,z$ 중 적어도 하나는 0}\ \big\}$

$f$ 의 최댓값은 임계점에서 나타난다. $D$ 위에서

$\begin{aligned} f &= x^2 y^2 (5-2x-y) =5x^2 y^2 - 2x^3 y^2 -x^2 y^3 \end{aligned}$

이므로 임계점은 다음 연립방정식의 해이다.

$\begin{aligned} 0&=f_x(x,y) = 10xy^2 -6x^2y^2 -2xy^3 \\ 0&=f_y(x,y) = 10x^2y -4x^3y -3x^2y^2 \end{aligned}$

첫째 식을 $xy^2$ 으로, 둘째 식을 $x^2y$ 로 나누면 ( $x,y\ne 0$ 임을 기억한다)

$\begin{aligned} 10 -6x -2y &=0 &\qquad\text{또는}\qquad 3x+y&=5 \\ 10 -4x -3y &=0 &\qquad\text{또는}\qquad 4x+3y&=10 \end{aligned}$

첫째 식에서 얻은 $y=5-3x$ 를 둘째 식에 대입하면

$4x+3(5-3x)=10 \implies -5x +15 =10 \implies x=1,\ y=5-3(1)=2$

따라서 $f$ 의 최댓값은 $(1,2,1)$ 에서 $(1)^2(2)^2(5-2-2)=4$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 극값과 안장점개념 확인자동 분류