곡면의 넓이

반구의 일부분의 겉넓이를 구해야 한다. 반구 위에서

$$\begin{aligned} z=f(x,y)=\sqrt{a^2-x^2-y^2}\qquad f_x(x,y)=-\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}\qquad f_y(x,y)=-\frac{y}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} \end{aligned}$$

이므로

$$\begin{aligned} \mathrm{d}S&=\sqrt{1+f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\sqrt{1+\frac{x^2}{a^2-x^2-y^2}+\frac{y^2}{a^2-x^2-y^2}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \\ &=\sqrt{\frac{a^2}{a^2-x^2-y^2}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{aligned}$$

이다. 극좌표로 나타내면 $\mathrm{d}S=\frac{a}{\sqrt{a^2-r^2}}\,r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$ 이다. 원기둥 $x^2-ax+y^2=0$ 의 내부에 있는 반구 부분의 겉넓이를 구해야 하는데, 이 식을 극좌표로 나타내면 $r^2-ar\cos\theta=0$, 즉 $r=a\cos\theta$ 가 된다. 적분 영역의 위쪽 절반은 아래 그림과 같다.

따라서

$$\begin{aligned} {\rm Surface\ Area} &= 2\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\int_0^{a\cos\theta}\mathrm{d}r\ r \frac{a}{\sqrt{a^2-r^2}} = 2a\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\ \Big[-\sqrt{a^2-r^2}\,\Big]_0^{a\cos\theta} \\ &= 2a\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\ \big[a-a\sin\theta\big] \\ &= 2a^2\Big[\theta+\cos\theta\Big]_0^{\pi/2} =a^2[\pi-2] \end{aligned}$$

이다.