곡면의 넓이 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.APEX · 13.5절 · 1번대학 수준우리말 번역

"겉넓이"는 앞서 배운 어떤 개념과 비슷한가?

영어 원문 보기

“Surface area” is analogous to what previously studied concept?

정답·풀이 보기

곡선의 길이

원본 교재 풀이(영어)

arc length

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 3번

# 곡면의 넓이개념 확인자동 분류

2.APEX · 13.5절 · 2번대학 수준우리말 번역

곡면의 작은 부분의 넓이를 어림하기 위해, 그 부분의 _____ 평면의 넓이를 계산하였다.

영어 원문 보기

To approximate the area of a small portion of a surface, we computed the area of its _____ plane.

정답·풀이 보기

접하는

원본 교재 풀이(영어)

tangent

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.4절 · 10번

# 곡면의 넓이개념 확인자동 분류

3.APEX · 13.5절 · 3번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle \iint_R\ dS$ 를 "작은 _____ _____를 많이 더한 것"으로 해석한다.

영어 원문 보기

We interpret $\displaystyle \iint_R\ dS$ as “sum up lots of little _____ _____.”

정답·풀이 보기

겉넓이

원본 교재 풀이(영어)

surface areas

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 2번

# 곡면의 넓이개념 확인자동 분류

4.APEX · 13.5절 · 4번대학 수준우리말 번역

결과로 얻은 적분을 계산하기 어렵더라도, 겉넓이를 구하는 이중적분을 세우는 방법을 아는 것이 중요한 이유는 무엇인가?

영어 원문 보기

Why is it important to know how to set up a double integral to compute surface area, even if the resulting integral is hard to evaluate?

정답·풀이 보기

정확한 답은 아니더라도, 기술(계산 도구)을 이용하면 좋은 근삿값을 얻을 수 있기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

Technology makes good approximations accessible, if not exact answers.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 1번

# 곡면의 넓이개념 확인자동 분류

5.APEX · 13.5절 · 5번대학 수준우리말 번역

어떤 실수 $h$ 에 대해 $z=f(x,y)$ 와 $z=g(x,y)=f(x,y)+h$ 가 영역 $R$ 위에서 같은 겉넓이를 갖는 이유는 무엇인가요?

영어 원문 보기

Why do $z=f(x,y)$ and $z=g(x,y)=f(x,y)+h$ , for some real number $h$ , have the same surface area over a region $R$ ?

정답·풀이 보기

직관적으로, $f$ 에 $h$ 를 더하면 $f$ 가 위로(즉, $z$ 축에 평행하게) 이동할 뿐 모양은 변하지 않는다. 따라서 $R$ 위에서의 겉넓이도 변하지 않는다.

해석적으로, $f_x = g_x$ 이고 $f_y=g_y$ 이므로 두 곡면의 겉넓이는 서로 똑같은 이중적분으로 계산된다.

원본 교재 풀이(영어)

Intuitively, adding $h$ to $f$ only shifts $f$ up (i.e., parallel to the $z$ -axis) and does not change its shape. Therefore it will not change the surface area over $R$ .

Analytically, $f_x = g_x$ and $f_y=g_y$ ; therefore, the surface area of each is computed with identical double integrals.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 6번

# 곡면의 넓이개념 확인자동 분류

6.APEX · 13.5절 · 6번대학 수준우리말 번역

$z=f(x,y)$ 와 $z=g(x,y)=2f(x,y)$ 가 있다고 하자. 영역 $R$ 위에서 $g$ 의 겉넓이가 $R$ 위에서 $f$ 의 겉넓이의 두 배가 아닌 이유는 무엇인가요?

영어 원문 보기

Let $z=f(x,y)$ and $z=g(x,y)=2f(x,y)$ . Why is the surface area of $g$ over a region $R$ not twice the surface area of $f$ over $R$ ?

정답·풀이 보기

해석적으로, $g_x = 2f_x$ 이고 $g_y=2f_y$ 이다. $R$ 위에서 $f$ 의 겉넓이를 계산하는 이중적분은 $\displaystyle \iint_R \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\ dA$ 이고, $R$ 위에서 $g$ 의 겉넓이를 계산하는 이중적분은 $\displaystyle \iint_R\sqrt{1+4f_x^2+4f_y^2}\ dA$ 이며, 이는 $f$ 의 겉넓이를 계산하는 데 쓰인 이중적분의 두 배가 아니다.

원본 교재 풀이(영어)

Analytically, $g_x = 2f_x$ and $g_y=2f_y$ . The double integral to compute the surface area of $f$ over $R$ is $\displaystyle \iint_R \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\ dA$ ; the double integral to compute the surface area of $g$ over $R$ is $\displaystyle \iint_R\sqrt{1+4f_x^2+4f_y^2}\ dA$ , which is not twice the double integral used to calculate the surface area of $f$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 4번

# 곡면의 넓이개념 확인자동 분류

7.APEX · 13.5절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–10에서, 주어진 곡면의 영역 $R$ 위의 겉넓이를 구하는 반복적분을 세우세요.

$f(x,y) = \sin x\cos y$ ; $R$ 은 범위가 $0\leq x\leq 2\pi$ , $0\leq y\leq2\pi$ 인 직사각형이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–10, set up the iterated integral that computes the surface area of the given surface over the region $R$ .

$f(x,y) = \sin x\cos y$ ; $R$ is the rectangle with bounds $0\leq x\leq 2\pi$ , $0\leq y\leq2\pi$ .

정답·풀이 보기

$\displaystyle SA = \int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi} \sqrt{1+ \cos^2x\cos^2y+\sin^2x\sin^2y}\ dx\ dy$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle SA = \int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi} \sqrt{1+ \cos^2x\cos^2y+\sin^2x\sin^2y}\ dx\ dy$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 4번

# 곡면의 넓이그래프·표 해석자동 분류

8.APEX · 13.5절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–10에서, 주어진 곡면의 영역 $R$ 위의 겉넓이를 구하는 반복적분을 세우세요.

$\displaystyle f(x,y) = \frac{1}{x^2+y^2+1}$ ; $R$ 은 원 $x^2+y^2=9$ 로 둘러싸인 영역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–10, set up the iterated integral that computes the surface area of the given surface over the region $R$ .

$\displaystyle f(x,y) = \frac{1}{x^2+y^2+1}$ ; $R$ is bounded by the circle $x^2+y^2=9$ .

정답·풀이 보기

$\displaystyle SA = \int_{-3}^{3}\int_{-\sqrt{9-x^2}}^{\sqrt{9-x^2}} \sqrt{1+ \frac{4x^2+4y^2}{(1+x^2+y^2)^4}}\ dx\ dy$

극좌표를 쓰면 적분 범위가 더 간단하다:

$\displaystyle SA = \int_0^{2\pi}\int_0^3 r\sqrt{1+\frac{4r^2}{(1+r^2)^4}}\ dr\ d\theta$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle SA = \int_{-3}^{3}\int_{-\sqrt{9-x^2}}^{\sqrt{9-x^2}} \sqrt{1+ \frac{4x^2+4y^2}{(1+x^2+y^2)^4}}\ dx\ dy$

Polar offers simpler bounds:

$\displaystyle SA = \int_0^{2\pi}\int_0^3 r\sqrt{1+\frac{4r^2}{(1+r^2)^4}}\ dr\ d\theta$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 1번

# 곡면의 넓이그래프·표 해석자동 분류

9.APEX · 13.5절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–10에서, 주어진 곡면의 영역 $R$ 위의 겉넓이를 구하는 반복적분을 세우세요.

$\displaystyle f(x,y) = x^2-y^2$ ; $R$ 은 마주 보는 꼭짓점이 $(-1,-1)$ 과 $(1,1)$ 인 직사각형이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–10, set up the iterated integral that computes the surface area of the given surface over the region $R$ .

$\displaystyle f(x,y) = x^2-y^2$ ; $R$ is the rectangle with opposite corners $(-1,-1)$ and $(1,1)$ .

정답·풀이 보기

$\displaystyle SA = \int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1} \sqrt{1+ 4x^2+4y^2}\ dx\ dy$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle SA = \int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1} \sqrt{1+ 4x^2+4y^2}\ dx\ dy$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 2번

# 곡면의 넓이그래프·표 해석자동 분류

10.APEX · 13.5절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–10에서, 영역 $R$ 위에 놓인 주어진 곡면의 겉넓이를 계산하는 반복적분을 세우세요.

$\displaystyle f(x,y) = \frac{1}{e^{x^2}+1}$ ; $R$ 은

$-5\leq x\leq 5$ 와 $0\leq y\leq 1$ 로 둘러싸인 직사각형이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–10, set up the iterated integral that computes the surface area of the given surface over the region $R$ .

$\displaystyle f(x,y) = \frac{1}{e^{x^2}+1}$ ; $R$ is the rectangle bounded by

$-5\leq x\leq 5$ and $0\leq y\leq 1$ .

정답·풀이 보기

$\displaystyle SA = \int_{-5}^{5}\int_{0}^{1} \sqrt{1+ \frac{4x^2e^{2x^2}}{\big(1+e^{x^2}\big)^4}}\ dy\ dx$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle SA = \int_{-5}^{5}\int_{0}^{1} \sqrt{1+ \frac{4x^2e^{2x^2}}{\big(1+e^{x^2}\big)^4}}\ dy\ dx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 6번

# 곡면의 넓이그래프·표 해석자동 분류

11.APEX · 13.5절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–19에서, 영역 $R$ 위에 놓인 주어진 곡면의 넓이를 구하세요.

$f(x,y) = 3x-7y+2$ ; $R$ 은 마주 보는 꼭짓점이 $(-1,0)$ 과 $(1,3)$ 인 직사각형이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–19, find the area of the given surface over the region $R$ .

$f(x,y) = 3x-7y+2$ ; $R$ is the rectangle with opposite corners $(-1,0)$ and $(1,3)$ .

정답·풀이 보기

$\displaystyle SA = \int_{0}^{3}\int_{-1}^{1} \sqrt{1+ 9+49}\ dx\ dy = 6\sqrt{59} \approx 46.09$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle SA = \int_{0}^{3}\int_{-1}^{1} \sqrt{1+ 9+49}\ dx\ dy = 6\sqrt{59} \approx 46.09$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 1번

# 곡면의 넓이활용자동 분류

12.APEX · 13.5절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–19에서, 영역 $R$ 위에 놓인 주어진 곡면의 넓이를 구하세요.

$f(x,y) = 2x+2y+2$ ; $R$ 은 꼭짓점이 $(0,0)$ , $(1,0)$ , $(0,1)$ 인 삼각형이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–19, find the area of the given surface over the region $R$ .

$f(x,y) = 2x+2y+2$ ; $R$ is the triangle with corners $(0,0)$ , $(1,0)$ and $(0,1)$ .

정답·풀이 보기

$\displaystyle SA = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x} \sqrt{1+ 4+4}\ dy\ dx = 18$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle SA = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x} \sqrt{1+ 4+4}\ dy\ dx = 18$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 5번

# 곡면의 넓이활용자동 분류

13.APEX · 13.5절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–19에서, 영역 $R$ 위에 놓인 주어진 곡면의 넓이를 구하세요.

$f(x,y) = x^2+y^2+10$ ; $R$ 은 원 $x^2+y^2=16$ 으로 둘러싸인 영역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–19, find the area of the given surface over the region $R$ .

$f(x,y) = x^2+y^2+10$ ; $R$ is bounded by the circle $x^2+y^2=16$ .

정답·풀이 보기

극좌표로 하면 더 쉽다:

$\begin{aligned}SA &= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{4} r\sqrt{1+ 4r^2\cos^2t+4r^2\sin^2t}\ dr\ d\theta\\ &= \int_0^{2\pi}\int_0^4r\sqrt{1+4r^2}\ dr\ d\theta \\ &= \frac{\pi}{6}\big(65\sqrt{65}-1\big) \approx 273.87 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

This is easier in polar:

$\begin{aligned}SA &= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{4} r\sqrt{1+ 4r^2\cos^2t+4r^2\sin^2t}\ dr\ d\theta\\ &= \int_0^{2\pi}\int_0^4r\sqrt{1+4r^2}\ dr\ d\theta \\ &= \frac{\pi}{6}\big(65\sqrt{65}-1\big) \approx 273.87 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 2번

# 곡면의 넓이활용자동 분류

14.APEX · 13.5절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–19에서, 영역 $R$ 위에 놓인 주어진 곡면의 넓이를 구하세요.

$f(x,y) = -2x+4y^2+7$ , $R$ 은 $y=-x$ , $y=x$ , $0\leq y\leq 1$ 로 둘러싸인 삼각형 영역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–19, find the area of the given surface over the region $R$ .

$f(x,y) = -2x+4y^2+7$ over $R$ , the triangle bounded by $y=-x$ , $y=x$ , $0\leq y\leq 1$ .

정답·풀이 보기

$\begin{aligned}SA &= \int_{0}^{1}\int_{-y}^{y} \sqrt{1+ 4+64y^2}\ dx\ dy\\ &= \int_0^{1}\big(2y\sqrt{5+64y^2}\big)\ dy \\ &= \frac1{96}\big(69\sqrt{69}-5\sqrt{5}\big)\approx 5.85 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

$\begin{aligned}SA &= \int_{0}^{1}\int_{-y}^{y} \sqrt{1+ 4+64y^2}\ dx\ dy\\ &= \int_0^{1}\big(2y\sqrt{5+64y^2}\big)\ dy \\ &= \frac1{96}\big(69\sqrt{69}-5\sqrt{5}\big)\approx 5.85 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.4절 · 10번

# 곡면의 넓이활용자동 분류

15.APEX · 13.5절 · 15번대학 수준우리말 번역

11–19번 문제에서, 영역 $R$ 위에 놓인 주어진 곡면의 넓이를 구하세요.

$f(x,y) = x^2+y$ , $R$ 은 $y=2x$ , $y=0$ , $x=2$ 로 둘러싸인 삼각형 영역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–19, find the area of the given surface over the region $R$ .

$f(x,y) = x^2+y$ over $R$ , the triangle bounded by $y=2x$ , $y=0$ and $x=2$ .

정답·풀이 보기

$\begin{aligned}SA &= \int_{0}^{2}\int_{0}^{2x} \sqrt{1+ 1+4x^2}\ dy\ dx\\ &= \int_0^{2}\big(2x\sqrt{2+4x^2}\big)\ dx \\ &= \frac{26}{3}\sqrt{2}\approx 12.26 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

$\begin{aligned}SA &= \int_{0}^{2}\int_{0}^{2x} \sqrt{1+ 1+4x^2}\ dy\ dx\\ &= \int_0^{2}\big(2x\sqrt{2+4x^2}\big)\ dx \\ &= \frac{26}{3}\sqrt{2}\approx 12.26 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 3번

# 곡면의 넓이활용자동 분류

16.APEX · 13.5절 · 16번대학 수준우리말 번역

11–19번 문제에서, 영역 $R$ 위에 놓인 주어진 곡면의 넓이를 구하세요.

$f(x,y) = \frac23x^{3/2}+2y^{3/2}$ , $R$ 은 서로 마주 보는 꼭짓점이 $(0,0)$ 과 $(1,1)$ 인 직사각형이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–19, find the area of the given surface over the region $R$ .

$f(x,y) = \frac23x^{3/2}+2y^{3/2}$ over $R$ , the rectangle with opposite corners $(0,0)$ and $(1,1)$ .

정답·풀이 보기

$\begin{aligned}SA &= \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \sqrt{1+ x+9y}\ dx\ dy\\ &= \int_0^{1}\frac23\Big((9y+2)^{3/2}-(9y+1)^{3/2}\Big)\ dy \\ &= \frac{4}{135}\big(121\sqrt{11}-100\sqrt{10}-4\sqrt{2}+1\big)\approx 2.383 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

$\begin{aligned}SA &= \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \sqrt{1+ x+9y}\ dx\ dy\\ &= \int_0^{1}\frac23\Big((9y+2)^{3/2}-(9y+1)^{3/2}\Big)\ dy \\ &= \frac{4}{135}\big(121\sqrt{11}-100\sqrt{10}-4\sqrt{2}+1\big)\approx 2.383 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 1번

# 곡면의 넓이활용자동 분류

17.APEX · 13.5절 · 17번대학 수준우리말 번역

11–19번 문제에서, 영역 $R$ 위에 놓인 주어진 곡면의 넓이를 구하세요.

$f(x,y) = 10-2\sqrt{x^2+y^2}$ , $R$ 은 원 $x^2+y^2=25$ 로 둘러싸인 영역이다. (이것은 높이가 10이고 밑면의 반지름이 5인 원뿔이다. 구한 결과를 알려진 공식과 반드시 비교하세요.)

영어 원문 보기

In Exercises 11–19, find the area of the given surface over the region $R$ .

$f(x,y) = 10-2\sqrt{x^2+y^2}$ over $R$ , bounded by the circle $x^2+y^2=25$ . (This is the cone with height 10 and base radius 5; be sure to compare your result with the known formula.)

정답·풀이 보기

극좌표로 계산하는 것이 더 쉽다:

$\begin{aligned}SA &= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{5} r\sqrt{1+ \frac{4r^2\cos^2\theta+4r^2\sin^2\theta}{r^2\sin^2\theta+r^2\cos^2\theta}}\ dr\ d\theta\\ &= \int_0^{2\pi}\int_0^5r\sqrt{5}\ dr\ d\theta \\ &= 25\pi\sqrt{5}\approx 175.62 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

This is easier in polar:

$\begin{aligned}SA &= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{5} r\sqrt{1+ \frac{4r^2\cos^2\theta+4r^2\sin^2\theta}{r^2\sin^2\theta+r^2\cos^2\theta}}\ dr\ d\theta\\ &= \int_0^{2\pi}\int_0^5r\sqrt{5}\ dr\ d\theta \\ &= 25\pi\sqrt{5}\approx 175.62 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 3번

# 곡면의 넓이활용자동 분류

18.APEX · 13.5절 · 18번대학 수준우리말 번역

11–19번 문제에서, 영역 $R$ 위에 놓인 주어진 곡면의 넓이를 구하세요.

반지름이 5인 구의 겉넓이를, 원 $x^2+y^2=25$ 로 둘러싸인 영역 $R$ 위에 놓인 $f(x,y) = \sqrt{25-x^2-y^2}$ 의 겉넓이를 두 배 하여 구하세요. (구한 결과를 알려진 공식과 반드시 비교하세요.)

영어 원문 보기

In Exercises 11–19, find the area of the given surface over the region $R$ .

Find the surface area of the sphere with radius 5 by doubling the surface area of $f(x,y) = \sqrt{25-x^2-y^2}$ over $R$ , bounded by the circle $x^2+y^2=25$ . (Be sure to compare your result with the known formula.)

정답·풀이 보기

극좌표로 계산하는 것이 더 쉽다:

$\begin{aligned}SA &= 2\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{5} r\sqrt{1+ \frac{r^2\cos^2t+r^2\sin^2t}{25-r^2\sin^2t-r^2\cos^2t}}\ dr\ d\theta\\ &= 2\int_0^{2\pi}\int_0^5r\sqrt{\frac{1}{25-r^2}}\ dr\ d\theta \\ &= 100\pi\approx 314.16 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

This is easier in polar:

$\begin{aligned}SA &= 2\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{5} r\sqrt{1+ \frac{r^2\cos^2t+r^2\sin^2t}{25-r^2\sin^2t-r^2\cos^2t}}\ dr\ d\theta\\ &= 2\int_0^{2\pi}\int_0^5r\sqrt{\frac{1}{25-r^2}}\ dr\ d\theta \\ &= 100\pi\approx 314.16 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 4번

# 곡면의 넓이활용자동 분류

19.APEX · 13.5절 · 19번대학 수준우리말 번역

11–19번 문제에서, 영역 $R$ 위에 놓인 주어진 곡면의 넓이를 구하세요.

평면 $f(x,y) = cx+dy+h$ 를 원 $x^2+y^2=1$ 로 둘러싸인 영역 $R$ 로 제한하여 만들어지는 타원의 겉넓이를 구하세요. 여기서 $c$ , $d$ , $h$ 는 상수이다. 답은 $c$ 와 $d$ 로 나타내야 합니다. $h$ 의 값은 왜 상관이 없는지 설명하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 11–19, find the area of the given surface over the region $R$ .

Find the surface area of the ellipse formed by restricting the plane $f(x,y) = cx+dy+h$ to the region $R$ , bounded by the circle $x^2+y^2=1$ , where $c$ , $d$ and $h$ are some constants. Your answer should be given in terms of $c$ and $d$ ; why does the value of $h$ not matter?

정답·풀이 보기

$R$ 을 생각하면 극좌표로 적분하는 것이 가장 쉽다:

$\begin{aligned}SA &= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r\sqrt{1+ c^2+d^2}\ dr\ d\theta\\ &= \int_0^{2\pi}\frac12\Big(\sqrt{1+c^2+d^2}\Big)\ d\theta \\ &= \pi\sqrt{1+c^2+d^2}. \end{aligned}$

$h$ 의 값은 평면을 수직으로(즉, $z$ 축에 평행하게) 이동시킬 뿐이므로 상관이 없다. $h$ 의 값이 달라져도 평면 위에 서로 다른 타원이 만들어지지는 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

Integrating in polar is easiest considering $R$ :

$\begin{aligned}SA &= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r\sqrt{1+ c^2+d^2}\ dr\ d\theta\\ &= \int_0^{2\pi}\frac12\Big(\sqrt{1+c^2+d^2}\Big)\ d\theta \\ &= \pi\sqrt{1+c^2+d^2}. \end{aligned}$

The value of $h$ does not matter as it only shifts the plane vertically (i.e., parallel to the $z$ -axis). Different values of $h$ do not create different ellipses in the plane.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 6번

# 곡면의 넓이활용자동 분류

20.CLP-3 · 3.4절 · 10번대학 수준우리말 번역

반구 $z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$ 중에서 원기둥 $\big(x-\frac{a}{2}\big)^2+y^2=\big(\frac{a}{2}\big)^2$ 의 내부에 있는 부분의 겉넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the surface area of that part of the hemisphere $z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$ which lies within the cylinder $\big(x-\frac{a}{2}\big)^2+y^2=\big(\frac{a}{2}\big)^2$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

반구의 일부분의 겉넓이를 구해야 한다. 반구 위에서

$\begin{aligned} z=f(x,y)=\sqrt{a^2-x^2-y^2}\qquad f_x(x,y)=-\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}\qquad f_y(x,y)=-\frac{y}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} \end{aligned}$

이므로

$\begin{aligned} \mathrm{d}S&=\sqrt{1+f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\sqrt{1+\frac{x^2}{a^2-x^2-y^2}+\frac{y^2}{a^2-x^2-y^2}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \\ &=\sqrt{\frac{a^2}{a^2-x^2-y^2}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{aligned}$

이다. 극좌표로 나타내면 $\mathrm{d}S=\frac{a}{\sqrt{a^2-r^2}}\,r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$ 이다. 원기둥 $x^2-ax+y^2=0$ 의 내부에 있는 반구 부분의 겉넓이를 구해야 하는데, 이 식을 극좌표로 나타내면 $r^2-ar\cos\theta=0$ , 즉 $r=a\cos\theta$ 가 된다. 적분 영역의 위쪽 절반은 아래 그림과 같다.

따라서

$\begin{aligned} {\rm Surface\ Area} &= 2\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\int_0^{a\cos\theta}\mathrm{d}r\ r \frac{a}{\sqrt{a^2-r^2}} = 2a\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\ \Big[-\sqrt{a^2-r^2}\,\Big]_0^{a\cos\theta} \\ &= 2a\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\ \big[a-a\sin\theta\big] \\ &= 2a^2\Big[\theta+\cos\theta\Big]_0^{\pi/2} =a^2[\pi-2] \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

We are to find the surface area of part of a hemisphere. On the hemisphere

$\begin{aligned} z=f(x,y)=\sqrt{a^2-x^2-y^2}\qquad f_x(x,y)=-\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}\qquad f_y(x,y)=-\frac{y}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} \end{aligned}$

so that

$\begin{aligned} \mathrm{d}S&=\sqrt{1+f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\sqrt{1+\frac{x^2}{a^2-x^2-y^2}+\frac{y^2}{a^2-x^2-y^2}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \\ &=\sqrt{\frac{a^2}{a^2-x^2-y^2}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{aligned}$

In polar coordinates, this is $\mathrm{d}S=\frac{a}{\sqrt{a^2-r^2}}\,r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$ . We are to find the surface area of the part of the hemisphere that is inside the cylinder, $x^2-ax+y^2=0$ , which is polar coordinates is becomes $r^2-ar\cos\theta=0$ or $r=a\cos\theta$ . The top half of the domain of integration is sketched below.

So the

$\begin{aligned} {\rm Surface\ Area} &= 2\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\int_0^{a\cos\theta}\mathrm{d}r\ r \frac{a}{\sqrt{a^2-r^2}} = 2a\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\ \Big[-\sqrt{a^2-r^2}\,\Big]_0^{a\cos\theta} \\ &= 2a\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\ \big[a-a\sin\theta\big] \\ &= 2a^2\Big[\theta+\cos\theta\Big]_0^{\pi/2} =a^2[\pi-2] \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 5번

# 곡면의 넓이활용보통자동 분류