곡면의 넓이 연습문제 — APEX · 13.5절 · 6번

APEX · 13.5절 · 6번대학 수준우리말 번역

$z=f(x,y)$ 와 $z=g(x,y)=2f(x,y)$ 가 있다고 하자. 영역 $R$ 위에서 $g$ 의 겉넓이가 $R$ 위에서 $f$ 의 겉넓이의 두 배가 아닌 이유는 무엇인가요?

영어 원문 보기

Let $z=f(x,y)$ and $z=g(x,y)=2f(x,y)$ . Why is the surface area of $g$ over a region $R$ not twice the surface area of $f$ over $R$ ?

정답·풀이 보기

해석적으로, $g_x = 2f_x$ 이고 $g_y=2f_y$ 이다. $R$ 위에서 $f$ 의 겉넓이를 계산하는 이중적분은 $\displaystyle \iint_R \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\ dA$ 이고, $R$ 위에서 $g$ 의 겉넓이를 계산하는 이중적분은 $\displaystyle \iint_R\sqrt{1+4f_x^2+4f_y^2}\ dA$ 이며, 이는 $f$ 의 겉넓이를 계산하는 데 쓰인 이중적분의 두 배가 아니다.

원본 교재 풀이(영어)

Analytically, $g_x = 2f_x$ and $g_y=2f_y$ . The double integral to compute the surface area of $f$ over $R$ is $\displaystyle \iint_R \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\ dA$ ; the double integral to compute the surface area of $g$ over $R$ is $\displaystyle \iint_R\sqrt{1+4f_x^2+4f_y^2}\ dA$ , which is not twice the double integral used to calculate the surface area of $f$ .

한 번 더 — 비슷한 문제APEX · 13.5절 · 4번우리말 번역

결과로 얻은 적분을 계산하기 어렵더라도, 겉넓이를 구하는 이중적분을 세우는 방법을 아는 것이 중요한 이유는 무엇인가?

다 풀었으면 정답 확인

정확한 답은 아니더라도, 기술(계산 도구)을 이용하면 좋은 근삿값을 얻을 수 있기 때문이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 곡면의 넓이개념 확인자동 분류