원기둥·구면좌표 삼중적분

(a) 이 입체는 다음을 만족하는 모든 $(x,y,z)$ 로 이루어져 있다.

• $(x,y)$ 는 원판 $x^2+y^2\le 4$ 위를 움직이고,
• $x^2+y^2\le 4$ 를 만족하는 각각의 고정된 $(x,y)$ 에 대해 $z$ 는 $0$ 에서 $e^{-x^2-y^2}$ 까지 움직인다.

원판 $x^2+y^2\le 4$ 에서

• $x$ 는 $-2$ 에서 $2$ 까지 움직이고,
• $-2\le x\le 2$ 를 만족하는 각각의 고정된 $x$ 에 대해 $y$ 는 $-\sqrt{4-x^2}$ 에서 $\sqrt{4-x^2}$ 까지 움직인다.

따라서

$$\text{Volume}=\int_{-2}^2 \mathrm{d}x \int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}\mathrm{d}y\int_0^{e^{-x^2-y^2}}\mathrm{d}z$$

(b) 원기둥좌표계로 바꾸면

$$\begin{aligned} \text{Volume}&=\int_0^2 \mathrm{d}r\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^{e^{-r^2}}\mathrm{d}z\ r =\int_0^2 \mathrm{d}r\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \ r e^{-r^2} =\int_0^2 \mathrm{d}r\ 2\pi\ r e^{-r^2} \\ &=-\pi e^{-r^2}\Big|_0^2 =\pi\big[1-e^{-4}\big]\approx 3.084 \end{aligned}$$