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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다중적분

원기둥·구면좌표 삼중적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 3.6절 · 14번대학 수준우리말 번역

세 곡면 z=e−x2−y2z=e^{-x^2-y^2}, z=0z=0, x2+y2=4x^2+y^2=4 로 둘러싸인 유계인 입체를 생각하세요.

(a) 이 입체의 부피를 나타내는 삼중적분을 직교좌표계에서 세우세요(계산은 하지 마세요). (b) 어떤 방법을 써도 좋으니 이 입체의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

Consider the finite solid bounded by the three surfaces: z=e−x2−y2z=e^{-x^2-y^2}, z=0z=0 and x2+y2=4x^2+y^2=4.

(a) Set up (but do not evaluate) a triple integral in rectangular coordinates that describes the volume of the solid. (b) Calculate the volume of the solid using any method.

정답·풀이 보기

(a) 이 입체는 다음을 만족하는 모든 (x,y,z)(x,y,z) 로 이루어져 있다.

  • (x,y)(x,y) 는 원판 x2+y2≤4x^2+y^2\le 4 위를 움직이고,
  • x2+y2≤4x^2+y^2\le 4 를 만족하는 각각의 고정된 (x,y)(x,y) 에 대해 zz 는 00 에서 e−x2−y2e^{-x^2-y^2} 까지 움직인다.

원판 x2+y2≤4x^2+y^2\le 4 에서

  • xx 는 −2-2 에서 22 까지 움직이고,
  • −2≤x≤2-2\le x\le 2 를 만족하는 각각의 고정된 xx 에 대해 yy 는 −4−x2-\sqrt{4-x^2} 에서 4−x2\sqrt{4-x^2} 까지 움직인다.

따라서

Volume=∫−22dx∫−4−x24−x2dy∫0e−x2−y2dz\text{Volume}=\int_{-2}^2 \mathrm{d}x \int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}\mathrm{d}y\int_0^{e^{-x^2-y^2}}\mathrm{d}z

(b) 원기둥좌표계로 바꾸면

Volume=∫02dr∫02πdθ∫0e−r2dz r=∫02dr∫02πdθ re−r2=∫02dr 2π re−r2=−πe−r2∣02=π[1−e−4]≈3.084\begin{aligned} \text{Volume}&=\int_0^2 \mathrm{d}r\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^{e^{-r^2}}\mathrm{d}z\ r =\int_0^2 \mathrm{d}r\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \ r e^{-r^2} =\int_0^2 \mathrm{d}r\ 2\pi\ r e^{-r^2} \\ &=-\pi e^{-r^2}\Big|_0^2 =\pi\big[1-e^{-4}\big]\approx 3.084 \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

(a) The solid consists of all (x,y,z)(x,y,z) with

  • (x,y)(x,y) running over the disk x2+y2≤4x^2+y^2\le 4 and
  • for each fixed (x,y)(x,y) obeying x2+y2≤4x^2+y^2\le 4, zz running from 00 to e−x2−y2e^{-x^2-y^2}

On the disk x2+y2≤4x^2+y^2\le 4,

  • xx runs from −2-2 to 22 and
  • for each fixed xx obeying −2≤x≤2-2\le x\le 2, yy runs from −4−x2-\sqrt{4-x^2} to 4−x2\sqrt{4-x^2}

So

Volume=∫−22dx∫−4−x24−x2dy∫0e−x2−y2dz\text{Volume}=\int_{-2}^2 \mathrm{d}x \int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}\mathrm{d}y\int_0^{e^{-x^2-y^2}}\mathrm{d}z

(b) Switching to cylindrical coordinates

Volume=∫02dr∫02πdθ∫0e−r2dz r=∫02dr∫02πdθ re−r2=∫02dr 2π re−r2=−πe−r2∣02=π[1−e−4]≈3.084\begin{aligned} \text{Volume}&=\int_0^2 \mathrm{d}r\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^{e^{-r^2}}\mathrm{d}z\ r =\int_0^2 \mathrm{d}r\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \ r e^{-r^2} =\int_0^2 \mathrm{d}r\ 2\pi\ r e^{-r^2} \\ &=-\pi e^{-r^2}\Big|_0^2 =\pi\big[1-e^{-4}\big]\approx 3.084 \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.6절 · 15번우리말 번역

x2+y2=4x^2 + y^2 = 4 의 안쪽, z=0z = 0 의 위쪽, 2z=y2z = y 의 아래쪽에 있는 입체의 부피를 구하세요.

답 쓰고 채점
다 풀었으면 정답 확인

이 입체는 x2+y2≤4x^2+y^2\le 4 이고 0≤z≤y20\le z\le\frac{y}{2} 를 만족하는 모든 점 (x,y,z)(x,y,z) 의 집합이다. 특히 y≥0y\ge 0 이다. 이 입체를 위에서 내려다보면 x2+y2≤4x^2+y^2\le 4 이고 y≥0y\ge 0 인 모든 (x,y)(x,y) 가 보인다. 이는 아래 왼쪽 그림에 나타나 있다.

그림

그림

원기둥좌표계를 사용하자. 밑면 영역(위 왼쪽 그림에서 색칠한 영역)에서

  • θ\theta 는 00 에서 π\pi 까지 움직이고,
  • 00 과 π\pi 사이의 각각의 고정된 θ\theta 에 대해 rr 은 00 에서 22 까지 움직인다.
  • 밑면 영역 안의 각각의 고정된 점 (x,y)=(rcos⁡θ,rsin⁡θ)(x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta) 에 대해 zz 는 00) 에서 y2=rsin⁡θ2\frac{y}{2}=\frac{r\sin\theta}{2} 까지 움직인다.

따라서 부피는

∫0πdθ∫02dr∫0rsin⁡θ/2dz r=∫0πdθ∫02dr 12r2sin⁡θ=∫0πdθ r36sin⁡θ ∣02=43∫0πdθ sin⁡θ=−43cos⁡θ ∣0π=83\begin{aligned} \int_0^\pi \mathrm{d}\theta\int_0^2 \mathrm{d}r\int_0^{r\sin\theta/2} dz\ r &=\int_0^\pi \mathrm{d}\theta\int_0^2 \mathrm{d}r\ \frac{1}{2} r^2\sin\theta =\int_0^\pi \mathrm{d}\theta\ \frac{r^3}{6}\sin\theta\,\bigg|_0^2 =\frac{4}{3}\int_0^\pi \mathrm{d}\theta\ \sin\theta \\ &=-\frac{4}{3}\cos\theta\,\bigg|_0^\pi =\frac{8}{3} \end{aligned}

이 문제로 이어서 풀기
# 원기둥·구면좌표 삼중적분활용보통자동 분류

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