그린 정리 연습문제 — APEX · 14.4절 · 6번

APEX · 14.4절 · 6번대학 수준우리말 번역

$\vec F$ 를 벡터장이라 하고, $C_1$ 과 $C_2$ 를 각각 점 $A$ 에서 시작하여 점 $B$ 에서 끝나는 것을 제외하고는 서로 만나지 않는 임의의 경로라 하자. _____ $=0$ 이면 $\int_{C_1} \vec F\cdot \vec n\ ds = \int_{C_2} \vec F\cdot \vec n\ ds$ 이다.

영어 원문 보기

Let $\vec F$ be a vector field and let $C_1$ and $C_2$ be any nonintersecting paths except that each starts at point $A$ and ends at point $B$ . If _____ $=0$ , then $\int_{C_1} \vec F\cdot \vec n\ ds = \int_{C_2} \vec F\cdot \vec n\ ds$ .

정답·풀이 보기

$\operatorname{div} \vec F$

원본 교재 풀이(영어)

$\operatorname{div} \vec F$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 4.3절 · 10번우리말 번역

다음과 같이 두자.

$\mathbf{F}(x, y) = \big(y^2 - e^{-y^2} + \sin x\,,\, 2xye^{-y^2} + x\big)$

$C$ 를 꼭짓점이 $(0, 0)$ , $(1, 0)$ , $(1, 2)$ 인 삼각형의 경계라 하고, 방향은 반시계 방향이라 하자. 다음 값을 구하세요.

$\int_C \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

직접 계산에 쓰일 적분은 매우 복잡해 보인다. 그러므로 그린 정리를 써 보자. 곡선 $C$ 는 다음 삼각형의 경계이다.

$T = \big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le x\le 1, 0\le y\le 2x\ \big\}$

따라서

$\begin{aligned} \int_C \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} &= \int_C \big\{\big(y^2 - e^{-y^2} + \sin x\big)\mathrm{d}x +\big(2xye^{-y^2} + x\big)\mathrm{d}y\big\} \\ &= \iint _T \big\{ \tfrac{\partial}{\partial x}\big(2xye^{-y^2} + x\big) -\tfrac{\partial}{\partial y}\big(y^2 - e^{-y^2} + \sin x\big) \big\}\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ &= \iint _T \big\{ \big(2ye^{-y^2} + 1\big) - \big(2y +2y e^{-y^2} \big) \big\}\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ &= \int_0^1\mathrm{d}x\int_0^{2x}\mathrm{d}y\ \big\{1-2y\big\} \\ &= \int_0^1\mathrm{d}x\ \big\{2x-4x^2\big\} \\ &=1-\frac{4}{3} = -\frac{1}{3} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 그린 정리개념 확인자동 분류