함수의 극한의 뜻 연습문제 — CLP-1 · 1.1절 · 2번

CLP-1 · 1.1절 · 2번우리말 번역

곡선 $y=f(x)$ 가 $x=2$ 인 점에서 접선 $y=2x+3$ 을 갖는다고 하자.

(a) 참 또는 거짓: $f(2)=7$ (b) 참 또는 거짓: $f(3)=9$

영어 원문 보기

Suppose a curve $y=f(x)$ has tangent line $y=2x+3$ at the point $x=2$ .

(a) True or False: $f(2)=7$ (b) True or False: $f(3)=9$

정답·풀이 보기

(a) 참: $y=2x+3$ 은 $y=f(x)$ 의 $x=2$ 인 점에서의 접선이므로, 함수와 접선은 $x=2$ 에서 같은 값을 갖는다. 따라서 $f(2)=2(2)+3=7$ 이다. (b) 일반적으로 거짓이다. 곡선 $y=f(x)$ 와 그 접선 $y=2x+3$ 이 $x=2$ 에서 일치한다는 것만 보장된다. $x\ne 2$ 일 때 함수 $f(x)$ 와 $2x+3$ 은 같은 값을 가질 수도 있고 그렇지 않을 수도 있다. 예를 들어 $f(x)=2x+3$ 이면 당연히 $f(x)$ 와 $2x+3$ 은 $x$ 의 모든 값에서 일치한다. 그러나 $f(x) = 2x+3 +(x-2)^2$ 이면 $f(x)$ 와 $2x+3$ 은 $x=2$ 에서만 일치한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) True: since $y=2x+3$ is the tangent line to $y=f(x)$ at the point $x=2$ , this means the function and the tangent line have the same value at $x=2$ . So $f(2)=2(2)+3=7$ . (b) In general, this is false. We are only guaranteed that the curve $y=f(x)$ and its tangent line $y=2x+3$ agree at $x=2$ . The functions $f(x)$ and $2x+3$ may or may not take the same values when $x\ne 2$ . For example, if $f(x)=2x+3$ , then of course $f(x)$ and $2x+3$ agree for all values of $x$ . But if $f(x) = 2x+3 +(x-2)^2$ , then $f(x)$ and $2x+3$ agree only for $x=2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 1.1절 · 3번우리말 번역

$L$ 을 곡선 $y=f(x)$ 의 어떤 점 $P$ 에서의 접선이라고 하자. $L$ 은 곡선 $y=f(x)$ 와 몇 번 만나는지 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

곡선의 점 $P$ 에서의 접선은 점 $P$ 를 지나므로, 곡선과 접선은 점 $P$ 에서 접한다. 따라서 둘은 적어도 한 번은 만난다. 여러 가지 예를 그려 보면, 곡선에 따라 접선과 정확히 한 번, 정확히 두 번, 정확히 세 번 등으로 접할 수 있음을 알 수 있다.

이 문제로 이어서 풀기

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