함수의 극한의 뜻 연습문제 — CLP-1 · 1.2절 · 8번

CLP-1 · 1.2절 · 8번우리말 번역

어떤 물체의 시각 $t$ (단위: 초)에서의 위치가 $s(t)=\sqrt{t}$ 로 주어진다고 하자.

(a) $t=1$ 초부터 $t=9$ 초까지 물체의 평균 속도는 얼마인가? (b) 시각 $t=1$ 에서 물체의 속도는 얼마인가? (c) 시각 $t=9$ 에서 물체의 속도는 얼마인가?

영어 원문 보기

Suppose the position of a body at time $t$ (measured in seconds) is given by $s(t)=\sqrt{t}$ .

(a) What is the average velocity of the object from $t=1$ second to $t=9$ seconds? (b) What is the velocity of the object at time $t=1$ ? (c) What is the velocity of the object at time $t=9$ ?

정답·풀이 보기

(a) 평균 속도: $\dfrac{\text{위치의 변화량}}{\text{시간의 변화량}} = \dfrac{s(9)-s(1)}{9-1} = \dfrac{3-1}{9-1}=\dfrac{1}{4}$ 단위/초이다. (b) 강의 노트에서, 시각 $a$ 에서 물체의 속도는 다음과 같음을 알고 있다. $v(a)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(a+h)-s(a)}{h}$ 따라서 이 경우에는 다음과 같다.

$\begin{aligned} v(1)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(1+h)-s(1)}{h} &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+h}-1}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+h}-1}{h}\cdot \left( \dfrac{\sqrt{1+h}+1}{\sqrt{1+h}+1}\right)\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{(1+h)-1}{h(\sqrt{1+h}+1)}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{1+h}+1}=\frac{1}{2}\text{ 단위/초} \end{aligned}$ (c) $\begin{aligned} v(9)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(9+h)-s(9)}{h} &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}\cdot \left( \dfrac{\sqrt{9+h}+3}{\sqrt{9+h}+3}\right)\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{(9+h)-9}{h(\sqrt{9+h}+3)}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{9+h}+3}=\frac{1}{6}\text{ 단위/초} \end{aligned}$

참고: 평균 속도는 두 순간 속도의 평균이 아니다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Average velocity: $\dfrac{\text{change in position}}{\text{change in time}} = \dfrac{s(9)-s(1)}{9-1} = \dfrac{3-1}{9-1}=\dfrac{1}{4}$ units per second. (b) From the notes, we know the velocity of an object at time $a$ is $v(a)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(a+h)-s(a)}{h}$ So, in our case:

$\begin{aligned} v(1)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(1+h)-s(1)}{h} &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+h}-1}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+h}-1}{h}\cdot \left( \dfrac{\sqrt{1+h}+1}{\sqrt{1+h}+1}\right)\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{(1+h)-1}{h(\sqrt{1+h}+1)}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{1+h}+1}=\frac{1}{2}\text{ units per second} \end{aligned}$ (c) $\begin{aligned} v(9)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(9+h)-s(9)}{h} &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}\cdot \left( \dfrac{\sqrt{9+h}+3}{\sqrt{9+h}+3}\right)\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{(9+h)-9}{h(\sqrt{9+h}+3)}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{9+h}+3}=\frac{1}{6}\text{ units per second} \end{aligned}$

Remark: the average velocity is not the average of the two instantaneous velocities.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 1.2절 · 7번우리말 번역

시각 $t$ (단위: 초)에서 물체의 위치가 다음과 같이 주어져 있다고 하자. $s(t)=3t^2+5$ .

(a) 3초부터 5초까지 물체의 평균 속도를 구하세요. (b) 시각 $t=1$ 에서 물체의 속도를 구하세요.

답 쓰고 채점

(a)

단위/초

(b)

단위/초

다 풀었으면 정답 확인

(a) 평균 속도: $\dfrac{\text{change in position}}{\text{change in time}} = \dfrac{s(5)-s(3)}{5-3} = \dfrac{(3\cdot 5^2+5)-(3\cdot 3^2+5)}{5-3}=24$ 이므로 초당 24 단위이다. (b) 강의 노트에서 시각 $a$ 에서 물체의 속도는 다음과 같음을 알고 있다. $v(a)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(a+h)-s(a)}{h}$ 따라서 이 문제에서는 다음과 같다. $v(1)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{s(1+h)-s(1)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{[3(1+h)^2+5]-[3(1)^2+5]}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{6h+3h^2}{h}= \lim_{h \rightarrow 0}6+3h = 6$ 따라서 $t=1$ 일 때의 속도는 초당 6 단위이다.

이 문제로 이어서 풀기

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