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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속

함수의 극한의 뜻

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-1 · 1.3절 · 2번우리말 번역

아래에 주어진 함수에 대하여 lim⁡x→0f(x)\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} f(x) 의 값을 구하세요.

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영어 원문 보기

Given the function shown below, evaluate lim⁡x→0f(x)\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} f(x).

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정답·풀이 보기

극한은 존재하지 않는다. xx 가 0 에 왼쪽에서 가까워질 때 yy 는 -1 에 가까워지고, xx 가 0 에 오른쪽에서 가까워질 때 yy 는 1 에 가까워진다. 이는 lim⁡x→0−f(x)=−1\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x)=-1 이고 lim⁡x→0+f(x)=1\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)=1 임을 뜻하지만, 이 둘은 모두 문제에서 물은 것이 아니다. 왼쪽 극한과 오른쪽 극한이 서로 같지 않으므로 극한은 존재하지 않는다. 달리 말하면, xx 가 0 에 가까워질 때 yy 가 가까워지는 하나의 수가 없으므로 극한 lim⁡x→0f(x)\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} f(x) 는 존재하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

The limit does not exist. As xx approaches 0 from the left, yy approaches -1; as xx approaches 0 from the right, yy approaches 1. This tells us lim⁡x→0−f(x)=−1\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x)=-1 and lim⁡x→0+f(x)=1\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)=1, but neither of these are what the question asked. Since the limits from left and right do not agree, the limit does not exist. Put another way, there is no single number yy approaches as xx approaches 0, so the limit lim⁡x→0f(x)\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} f(x) does not exist.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 1.3절 · 3번우리말 번역

아래에 주어진 함수에 대하여 다음 값을 구하세요.

(a) lim⁡x→−1−f(x)\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{-}} f(x) (b) lim⁡x→−1+f(x)\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{+}} f(x) (c) lim⁡x→−1f(x)\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1} f(x) (d) lim⁡x→−2+f(x)\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2^{+}} f(x) (e) lim⁡x→2−f(x)\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x)

그림

다 풀었으면 정답 확인

(a) lim⁡x→−1−f(x)=2\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{-}} f(x)=2: xx 가 −1-1 에 왼쪽에서 가까워질 때 yy 는 2 에 가까워진다. 함수가 x=−1x=-1 에서 정의되지 않는 것은 상관없고, x=−1x=-1 의 오른쪽에서 어떤 일이 일어나는지도 상관없다. (b) lim⁡x→−1+f(x)=−2\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{+}} f(x)=-2: xx 가 −1-1 에 오른쪽에서 가까워질 때 yy 는 -2 에 가까워진다. 함수가 −1-1 에서 정의되지 않는 것은 상관없고, −1-1 의 왼쪽에서 어떤 일이 일어나는지도 상관없다. (c) lim⁡x→−1f(x)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1} f(x) = 존재하지 않는다: 왼쪽 극한과 오른쪽 극한이 서로 같지 않으므로 극한은 존재하지 않는다. (d) lim⁡x→−2+f(x)=0\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2^{+}} f(x) =0: xx 가 −2-2 에 오른쪽에서 가까워질 때 yy 는 0 에 가까워진다. 함수가 2 에서 정의되지 않는 것이나 2 의 왼쪽에서 정의되지 않는 것은 상관없다. (e) lim⁡x→2−f(x)=0\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x)=0: xx 가 22 에 왼쪽에서 가까워질 때 yy 는 0 에 가까워진다. 함수가 2 에서 정의되지 않는 것이나 2 의 오른쪽에서 정의되지 않는 것은 상관없다.

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