극한의 성질과 계산 연습문제 — CLP-1 · 1.4절 · 4번

CLP-1 · 1.4절 · 4번우리말 번역

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}f(x)=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}g(x)=0$ 이고 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{f(x)}{g(x)}=\infty$ 를 만족시키는 두 함수 $f(x)$ , $g(x)$ 의 예를 하나 드세요.

영어 원문 보기

Give two functions $f(x)$ and $g(x)$ that satisfy $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}f(x)=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}g(x)=0$ and $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{f(x)}{g(x)}=\infty$ .

정답·풀이 보기

이 문제를 시작하는 한 가지 방법은 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{x^2}=\infty$ 임을 떠올리는 것이다. ( $\dfrac{1}{x}$ 이 아니라 $\dfrac{1}{x^2}$ 을 쓰는 것이 중요한데, $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{1}{x}$ 은 존재하지 않기 때문이다.) 이를 3만큼 “평행이동”하면 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{1}{(x-3)^2}=\infty$ 를 얻는다. 따라서 $\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{1}{(x-3)^2}$ 이 되도록 하면 충분하다. $f(x)=x-3$ , $g(x)=(x-3)^3$ 으로 잡으면 이를 이룰 수 있고, $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}f(x)=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}g(x)=0$ 도 그대로 성립한다. 이 역시 가능한 여러 풀이 중 하나이다.

원본 교재 풀이(영어)

One way to start this problem is to remember $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{x^2}=\infty$ . (Using $\dfrac{1}{x^2}$ as opposed to $\dfrac{1}{x}$ is important, since $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{1}{x}$ does not exist.) Then by “shifting" by three, we find $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{1}{(x-3)^2}=\infty$ . So it is enough to arrange that $\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{1}{(x-3)^2}$ . We can achieve this with $f(x)=x-3$ and $g(x)=(x-3)^3$ , and maintain $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}f(x)=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}g(x)=0$ . Again, this is one of many possible solutions.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 1.4절 · 2번우리말 번역

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}f(x)=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}g(x)=0$ 이고 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{f(x)}{g(x)}=10$ 을 만족시키는 두 함수 $f(x)$ , $g(x)$ 의 예를 하나 드세요.

다 풀었으면 정답 확인

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{f(x)}{g(x)}=10$ 이라는 것은 $x$ 가 3에 아주 가까워질 때 $f(x)$ 가 $g(x)$ 의 10배가 된다는 뜻이다. $f(x)=10g(x)$ 이면 $\dfrac{f(x)}{g(x)}=10$ 이므로, $f$ 와 $g$ 가 정의되는 곳에서는 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow} \dfrac{f(x)}{g(x)}=10$ 이다. 따라서 3에서의 극한이 0인 함수 $g(x)$ 를 찾으면 충분하다. 그러한 함수의 예로 $g(x)=x-3$ 이 있다. 그러므로 $f(x)=10(x-3)$ , $g(x)=x-3$ 으로 잡는다. 이제 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}f(x)=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}g(x)=0$ 이고 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{f(x)}{g(x)}=\displaystyle \lim_{x \to 3}\frac{10(x-3)}{x-3}=\displaystyle \lim_{x \to 3}10=10$ 임을 쉽게 확인할 수 있다.

이 문제로 이어서 풀기

# 극한의 성질과 계산계산기본자동 분류