극한의 성질과 계산 연습문제 — CLP-1 · 1.4절 · 49번

CLP-1 · 1.4절 · 49번우리말 번역

다음과 같이 가정하자. $f(x)=\left\{\begin{array}{lcc} x^2+3&,&x>0\\ 0&,&x=0\\ x^2-3&,&x<0 \end{array}\right.$

(a) $\displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x)$ 의 값을 구하세요. (b) $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x)$ 의 값을 구하세요. (c) $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose $f(x)=\left\{\begin{array}{lcc} x^2+3&,&x>0\\ 0&,&x=0\\ x^2-3&,&x<0 \end{array}\right.$

(a) Evaluate $\displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x)$ . (b) Evaluate $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x)$ . (c) Evaluate $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)$ .

정답·풀이 보기

(a) 왼쪽에서의 극한을 구할 때에는 0보다 작은 $x$ 의 값만 고려한다. 이러한 $x$ 의 값에서 함수는 $x^2-3$ 이다. 따라서 $\displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x)=\displaystyle \lim_{x \to 0^-} (x^2-3)=-3$ 이다.

(b) 오른쪽에서의 극한을 구할 때에는 0보다 큰 $x$ 의 값만 고려한다. 이러한 $x$ 의 값에서 함수는 $x^2+3$ 이다. 따라서 $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x)=\displaystyle \lim_{x \to 0^+} (x^2+3)=3$ 이다.

상황을 더 분명히 하기 위해 $y=f(x)$ 의 그래프를 아래와 같이 그렸다:

원본 교재 풀이(영어)

(a) When we evaluate the limit from the left, we only consider values of $x$ that are less than zero. For these values of $x$ , our function is $x^2-3$ . So, $\displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x)=\displaystyle \lim_{x \to 0^-} (x^2-3)=-3$ .

(b) When we evaluate the limit from the right, we only consider values of $x$ that are greater than zero. For these values of $x$ , our function is $x^2+3$ . So, $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x)=\displaystyle \lim_{x \to 0^+} (x^2+3)=3$ .

To further clarify the situation, the graph of $y=f(x)$ is sketched below:

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 2.3절 · 13번우리말 번역

다음 문제에서 직접 대입(치환)을 이용하여 각 극한이 부정형 $0/0$ 이 됨을 보이세요. 그런 다음 극한을 구하세요.

$\lim_{x\to 6}\frac{3x-18}{2x-12}$

다 풀었으면 정답 확인

$\lim_{x\to 6}\frac{3x-18}{2x-12}=\frac{18-18}{12-12}=\frac{0}{0}$ 이다. 그러면 $\lim_{x\to 6}\frac{3x-18}{2x-12}=\lim_{x\to 6}\frac{3(x-6)}{2(x-6)}=\frac{3}{2}$

이 문제로 이어서 풀기

# 극한의 성질과 계산계산도전자동 분류