무한대에서의 극한과 점근선 연습문제 — CLP-1 · 1.5절 · 6번

CLP-1 · 1.5절 · 6번우리말 번역

값을 구하세요. $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty} \cos x$

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty} \cos x$

정답·풀이 보기

$x$ 가 음의 방향으로 점점 더 커질 때 $\cos x$ 가 가까워지는 하나의 수는 없다. $x$ 가 음의 방향으로 커짐에 따라 이 함수는 $-1$ 과 $+1$ 사이를 오르내리며, 어느 한 수에도 가까워지지 않는다. 따라서 이 극한은 존재하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

There is no single number that $\cos x$ approaches as $x$ becomes more and more strongly negative: as $x$ grows in the negative direction, the function oscillates between $-1$ and $+1$ , never settling close to one particular number. So, this limit does not exist.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 1.5절 · 10번우리말 번역

$\displaystyle \lim_{x\to -\infty} \frac{3x}{\sqrt{4x^2+x}-2x}$ 의 값을 구하세요.

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절댓값이 큰 음수 $x$ 에 대해, 분모의 첫째 항은 $\sqrt{4x^2+x}\approx\sqrt{4x^2}=|2x|=-2x$ 이며 $+2x$ 가 아님에 주의한다. $x$ 가 음수일 때 $\sqrt{x^2}$ 을 잘못 계산하는 것을 피하는 좋은 방법은 $y=-x$ 로 놓고 모든 것을 $y$ 로 나타내는 것이다. 여기서는 그렇게 하겠다.

$\begin{aligned} \lim_{x\to -\infty} \frac{3x}{\sqrt{4x^2+x}-2x} &=\lim_{y\to +\infty} \frac{-3y}{\sqrt{4y^2-y}+2y} \\ &=\lim_{y\to +\infty} \frac{-3y}{y\sqrt{4-\frac{1}{y}}+2y} \\ &=\lim_{y\to +\infty} \frac{-3}{\sqrt{4-\frac{1}{y}}+2} \\ &=\frac{-3}{\sqrt{4-0}+2} \quad\text{$y\to +\infty$ 일 때 $1/y\to 0$ 이므로} \\ &= -\frac{3}{4} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 무한대에서의 극한과 점근선계산보통자동 분류