무한대에서의 극한과 점근선 연습문제 — CLP-1 · 1.5절 · 10번

CLP-1 · 1.5절 · 10번우리말 번역

$\displaystyle \lim_{x\to -\infty} \frac{3x}{\sqrt{4x^2+x}-2x}$ 의 값을 구하세요.

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Evaluate $\displaystyle \lim_{x\to -\infty} \frac{3x}{\sqrt{4x^2+x}-2x}$ .

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절댓값이 큰 음수 $x$ 에 대해, 분모의 첫째 항은 $\sqrt{4x^2+x}\approx\sqrt{4x^2}=|2x|=-2x$ 이며 $+2x$ 가 아님에 주의한다. $x$ 가 음수일 때 $\sqrt{x^2}$ 을 잘못 계산하는 것을 피하는 좋은 방법은 $y=-x$ 로 놓고 모든 것을 $y$ 로 나타내는 것이다. 여기서는 그렇게 하겠다.

$\begin{aligned} \lim_{x\to -\infty} \frac{3x}{\sqrt{4x^2+x}-2x} &=\lim_{y\to +\infty} \frac{-3y}{\sqrt{4y^2-y}+2y} \\ &=\lim_{y\to +\infty} \frac{-3y}{y\sqrt{4-\frac{1}{y}}+2y} \\ &=\lim_{y\to +\infty} \frac{-3}{\sqrt{4-\frac{1}{y}}+2} \\ &=\frac{-3}{\sqrt{4-0}+2} \quad\text{$y\to +\infty$ 일 때 $1/y\to 0$ 이므로} \\ &= -\frac{3}{4} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Note that for large negative $x$ , the first term in the denominator $\sqrt{4x^2+x}\approx\sqrt{4x^2}=|2x|=-2x$ not $+2x$ . A good way to avoid incorrectly computing $\sqrt{x^2}$ when $x$ is negative is to define $y=-x$ and express everything in terms of $y$ . That's what we'll do.

$\begin{aligned} \lim_{x\to -\infty} \frac{3x}{\sqrt{4x^2+x}-2x} &=\lim_{y\to +\infty} \frac{-3y}{\sqrt{4y^2-y}+2y} \\ &=\lim_{y\to +\infty} \frac{-3y}{y\sqrt{4-\frac{1}{y}}+2y} \\ &=\lim_{y\to +\infty} \frac{-3}{\sqrt{4-\frac{1}{y}}+2} \\ &=\frac{-3}{\sqrt{4-0}+2} \quad\text{since $1/y\to 0$ as $y\to +\infty$} \\ &= -\frac{3}{4} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 1.5절 · 7번우리말 번역

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow\infty}x-3x^5+100x^2$ 의 값을 구하세요.

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이 다항식에서 최고차항은 $-3x^5$ 이므로, $x$ 가 무한대로 갈 때 이 항이 함수의 변화를 좌우한다. 좀 더 엄밀하게 나타내면 다음과 같다.

$\begin{aligned} \lim\limits_{x\rightarrow\infty} \big(x - 3x^5 +100 x^2\big) &=\lim\limits_{x\rightarrow\infty} - 3x^5\left(1 -\frac{1}{3x^4} -\frac{100}{3 x^3}\right) \\ & =\lim\limits_{x\rightarrow\infty} - 3x^5 =-\infty \\ \text{왜냐하면} \\ \lim\limits_{x\rightarrow\infty} \left(1 -\frac{1}{3x^4} -\frac{100}{3 x^3}\right) &=1-0-0=1. \end{aligned}$

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