무한대에서의 극한과 점근선 연습문제 — CLP-1 · 1.5절 · 7번

CLP-1 · 1.5절 · 7번우리말 번역

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow\infty}x-3x^5+100x^2$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\lim_{x \rightarrow\infty}x-3x^5+100x^2$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

이 다항식에서 최고차항은 $-3x^5$ 이므로, $x$ 가 무한대로 갈 때 이 항이 함수의 변화를 좌우한다. 좀 더 엄밀하게 나타내면 다음과 같다.

$\begin{aligned} \lim\limits_{x\rightarrow\infty} \big(x - 3x^5 +100 x^2\big) &=\lim\limits_{x\rightarrow\infty} - 3x^5\left(1 -\frac{1}{3x^4} -\frac{100}{3 x^3}\right) \\ & =\lim\limits_{x\rightarrow\infty} - 3x^5 =-\infty \\ \text{왜냐하면} \\ \lim\limits_{x\rightarrow\infty} \left(1 -\frac{1}{3x^4} -\frac{100}{3 x^3}\right) &=1-0-0=1. \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The highest-order term in this polynomial is $-3x^5$ , so this dominates the function's behaviour as $x$ goes to infinity. More formally:

$\begin{aligned} \lim\limits_{x\rightarrow\infty} \big(x - 3x^5 +100 x^2\big) &=\lim\limits_{x\rightarrow\infty} - 3x^5\left(1 -\frac{1}{3x^4} -\frac{100}{3 x^3}\right) \\ & =\lim\limits_{x\rightarrow\infty} - 3x^5 =-\infty \\ \text{because} \\ \lim\limits_{x\rightarrow\infty} \left(1 -\frac{1}{3x^4} -\frac{100}{3 x^3}\right) &=1-0-0=1. \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 1.5절 · 17번우리말 번역

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{5x^2+10}{3x^3 +2x^2+x}$ 의 값을 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

분자와 분모를 모두 $x^3$ (분모의 최고차항)으로 나누면 다음을 얻는다. $\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2+10}{3x^3 +2x^2+x}=\lim_{x \to\infty}\frac{\frac{5}{x}+\frac{10}{x^3}}{3+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}=\frac{0}{3}=0.$

이 문제로 이어서 풀기

# 무한대에서의 극한과 점근선계산보통자동 분류