무한대에서의 극한과 점근선

늘 쓰는 방법대로 분모에서 $x$ 의 최고차 거듭제곱인 $x^4$ 으로 묶는다. 다만 제곱근에서는 조금 주의해야 한다. $x$ 가 양의 무한대로 가는 극한이므로 $x$ 의 값은 양수이고, 따라서 $\sqrt{x^2}=x$ 이고 $\sqrt{x^8}=x^4$ 이다.

$$\begin{aligned} \displaystyle\lim_{x \rightarrow\infty} \dfrac{\sqrt{3x^8+7x^4}+10}{x^4-2x^2+1}&= \displaystyle\lim_{x \rightarrow\infty} \dfrac{\sqrt{x^8(3+\frac{7}{x^4})}+10}{x^4(1-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^4})} \\&= \displaystyle\lim_{x \rightarrow\infty} \dfrac{\sqrt{x^8}\sqrt{3+\frac{7}{x^4}}+10}{x^4(1-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^4})}\\&= \displaystyle\lim_{x \rightarrow\infty} \dfrac{x^4\sqrt{3+\frac{7}{x^4}}+10}{x^4(1-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^4})}\\&= \displaystyle\lim_{x \rightarrow\infty} \dfrac{x^4\left(\sqrt{3+\frac{7}{x^4}}+\frac{10}{x^4}\right)}{x^4(1-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^4})}\\&= \displaystyle\lim_{x \rightarrow\infty} \dfrac{\sqrt{3+\frac{7}{x^4}}+\frac{10}{x^4}}{1-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^4}}\\ &=\frac{\sqrt{3+0}+0}{1-0+0}=\sqrt{3} \end{aligned}$$