무한대에서의 극한과 점근선 연습문제 — CLP-1 · 1.5절 · 15번

CLP-1 · 1.5절 · 15번우리말 번역

$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{4x^3+x}{7x^3 + x^2 - 2}$ 의 값을 구하세요.

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Evaluate $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{4x^3+x}{7x^3 + x^2 - 2}$ .

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분자와 분모에서 가장 지배적인 항의 차수는 $x^3$ 이다. 이 공통인수로 묶어 내면 다음을 얻는다. $\frac{4x^3+x}{7x^3 + x^2 - 2} = \frac{4 + \frac{1}{x^2}}{7 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^3}}.$ $a>0$ 일 때 $x\to +\infty$ 이면 $1/x^a\to 0$ 이므로 다음과 같다. $\lim_{x\to +\infty} \frac{4x^3+x}{7x^3 +x^2-2}=\frac{4}{7}.$

원본 교재 풀이(영어)

The dominant terms in the numerator and denominator have order $x^3$ . Taking out that common factor we get $\frac{4x^3+x}{7x^3 + x^2 - 2} = \frac{4 + \frac{1}{x^2}}{7 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^3}}.$ Since $1/x^a\to 0$ as $x\to +\infty$ (for $a>0$ ), we conclude that $\lim_{x\to +\infty} \frac{4x^3+x}{7x^3 +x^2-2}=\frac{4}{7}.$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 1.5절 · 14번우리말 번역

$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{ \sqrt{4\,x + 2}}{3\,x+4}$ 의 값을 구하세요.

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분자와 분모를 모두 $x$ (분모의 최고차항)로 나누면 다음을 얻는다. $\frac{ \sqrt{4\,x + 2}}{3x+4}=\frac{\sqrt{\frac 4 x + \frac 2 {x^2}}}{3 + \frac 4 x}.$ $x\to +\infty$ 일 때 $1/x\to 0$ 이고 $1/x^2\to 0$ 이므로 다음과 같다. $\lim_{x\to +\infty} \frac{ \sqrt{4\,x + 2}} {3\,x+4}=\frac {0}{3} = 0.$

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# 무한대에서의 극한과 점근선계산보통자동 분류