무한대에서의 극한과 점근선 연습문제 — CLP-1 · 1.5절 · 21번

CLP-1 · 1.5절 · 21번우리말 번역

$\displaystyle \lim_{x\to -\infty} \frac{3x+5}{\sqrt{x^2+5}-x}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle \lim_{x\to -\infty} \frac{3x+5}{\sqrt{x^2+5}-x}$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

분모에서 $x$ 의 최고차항인 $x$ 로 분자와 분모를 모두 나눈다. $x<0$ 이므로 $\sqrt{x^2}=|x|=-x$ 이고, 따라서 $\frac{\sqrt{x^2+5}}{x}=-\sqrt{\frac{x^2+5}{x^2}}=-\sqrt{1+\frac{5}{x^2}}.$ $x\to -\infty$ 일 때 $1/x\to 0$ 이고 $1/x^2\to 0$ 이므로 $\lim_{x\to -\infty} \frac{3x+5}{\sqrt{x^2+5}-x}=\lim_{x\to -\infty}\frac{3+\frac{5}{x}}{-\sqrt{1+\frac{5}{x^2}}-1}=\frac{3}{-1-1}=-\frac{3}{2}.$

원본 교재 풀이(영어)

We divide both the numerator and the denominator by the highest power of $x$ in the denominator, which is $x$ . Since $x<0$ , we have $\sqrt{x^2}=|x|=-x$ , so that $\frac{\sqrt{x^2+5}}{x}=-\sqrt{\frac{x^2+5}{x^2}}=-\sqrt{1+\frac{5}{x^2}}.$ Since $1/x\to 0$ and also $1/x^2\to 0$ as $x\to -\infty$ , we conclude that $\lim_{x\to -\infty} \frac{3x+5}{\sqrt{x^2+5}-x}=\lim_{x\to -\infty}\frac{3+\frac{5}{x}}{-\sqrt{1+\frac{5}{x^2}}-1}=\frac{3}{-1-1}=-\frac{3}{2}.$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 1.5절 · 28번우리말 번역

주사한 지 $t$ 시간 후 몸속에 있는 어떤 물질의 농도가 어떤 식 $c(t)$ 로 주어지고, $\displaystyle\lim_{t \rightarrow \infty} c(t) \neq 0$ 이라고 하자. 어떤 종류의 물질을 주사했을 수 있을까요?

다 풀었으면 정답 확인

그 물질이 장기적으로 남아 있는 양은 어떤 양수이다. 즉 그 물질은 계속 남아 있다. 이런 물질의 한 예가 문신의 잉크이다. (주사한 것이 약이었다면 아마 대사되어 $\displaystyle\lim_{t \rightarrow \infty} c(t)=0$ 일 것이다.)

참고: 사실 $t$ 를 무한대로 보내는 것은 그다지 의미가 없다. 수백만 시간이 지나면 몸조차 남아 있지 않을 텐데, 그렇다면 $c(t)$ 는 무엇을 재고 있는 것일까? 현실에서 식을 사용할 때는 흔히 그 식이 정해진 어떤 범위에서만 유효하다고 이해한다. $t$ 가 무한대로 갈 때의 극한은 그 함수의 장기적인 변화 양상을 대신 나타내는 것으로 자주 쓰인다.

이 문제로 이어서 풀기

# 무한대에서의 극한과 점근선계산보통자동 분류