무한대에서의 극한과 점근선 연습문제 — CLP-1 · 1.5절 · 22번

CLP-1 · 1.5절 · 22번우리말 번역

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{5x+7}{\sqrt{4x^2+15}-x}$ 의 값을 구하세요.

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Evaluate $\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{5x+7}{\sqrt{4x^2+15}-x}$

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분모에서 $x$ 의 최고차항인 $x$ 로 분자와 분모를 모두 나눈다. $x<0$ 이므로 $\sqrt{x^2}=|x|=-x$ 이고, 따라서 $\frac{\sqrt{4x^2+15}}{x}= \frac{\sqrt{4x^2+15}}{-\sqrt{x^2}} =-\sqrt{\frac{4x^2+15}{x^2}}=-\sqrt{4+\frac{15}{x^2}}.$ $x\to -\infty$ 일 때 $1/x\to 0$ 이고 $1/x^2\to 0$ 이므로 $\lim_{x\to -\infty} \frac{5x+7}{\sqrt{4x^2+15}-x}=\lim_{x\to -\infty}\frac{5+\frac{7}{x}}{-\sqrt{4+\frac{15}{x^2}}-1}=\frac{5}{-2-1}=-\frac{5}{3}.$

원본 교재 풀이(영어)

We divide both the numerator and the denominator by the highest power of $x$ in the denominator, which is $x$ . Since $x<0$ , we have $\sqrt{x^2}=|x|=-x$ , so that $\frac{\sqrt{4x^2+15}}{x}= \frac{\sqrt{4x^2+15}}{-\sqrt{x^2}} =-\sqrt{\frac{4x^2+15}{x^2}}=-\sqrt{4+\frac{15}{x^2}}.$ Since $1/x\to 0$ and also $1/x^2\to 0$ as $x\to -\infty$ , we conclude that $\lim_{x\to -\infty} \frac{5x+7}{\sqrt{4x^2+15}-x}=\lim_{x\to -\infty}\frac{5+\frac{7}{x}}{-\sqrt{4+\frac{15}{x^2}}-1}=\frac{5}{-2-1}=-\frac{5}{3}.$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 1.5절 · 23번우리말 번역

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty}\dfrac{3x^7+x^5-15}{4x^2+32x}$ 의 값을 구하세요.

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$\begin{aligned} \displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty}\dfrac{3x^7+x^5-15}{4x^2+32x}&= \displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty}\dfrac{x^2(3x^5+x^3-\frac{15}{x^2})}{x^2(4+\frac{32}{x})}\\ &=\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty}\dfrac{3x^5+x^3-\frac{15}{x^2}}{4+\frac{32}{x}} \\ &=\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{3(-x)^5+(-x)^3-\frac{15}{(-x)^2}}{4+\frac{32}{-x}}\\ &=\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{-3x^5-x^3-\frac{15}{x^2}}{4-\frac{32}{x}} \\&=-\infty \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 무한대에서의 극한과 점근선계산보통자동 분류