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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속

무한대에서의 극한과 점근선

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-1 · 1.5절 · 24번우리말 번역

lim⁡n→∞(n2+5n−n)\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\sqrt{n^2+5n}-n\right) 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate lim⁡n→∞(n2+5n−n)\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\sqrt{n^2+5n}-n\right).

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식에 그 켤레식 (n2+5n+n)\big(\sqrt{n^2+5n}+n\big) 을 분자와 분모에 곱한다.

lim⁡n→∞(n2+5n−n)=lim⁡n→∞(n2+5n−n)(n2+5n+nn2+5n+n)=lim⁡n→∞(n2+5n)−n2n2+5n+n=lim⁡n→∞5nn2+5n+n=lim⁡n→∞5⋅nn21+5n+nn>0이므로 n2=n 으로 간단히 할 수 있다.=lim⁡n→∞5⋅nn1+5n+n=lim⁡n→∞51+5n+1=51+0+1=52\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty}\big(\sqrt{n^2+5n}-n\big) &=\lim_{n \to \infty}\big(\sqrt{n^2+5n}-n\big) \left(\frac{\sqrt{n^2+5n}+n}{\sqrt{n^2+5n}+n}\right)\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(n^2+5n)-n^2}{\sqrt{n^2+5n}+n}\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{5n}{\sqrt{n^2+5n}+n}\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{5\cdot n}{\sqrt{n^2}\sqrt{1+\frac{5}{n}}+n} \\ \text{$n>0$이므로 $\sqrt{n^2}=n$ 으로 간단히 할 수 있다.} \\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{5\cdot n}{n\sqrt{1+\frac{5}{n}}+n}\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{5}{\sqrt{1+\frac{5}{n}}+1}\\ &=\frac{5}{\sqrt{1+0}+1}=\frac{5}{2} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

We multiply and divide the expression by its conjugate, (n2+5n+n)\big(\sqrt{n^2+5n}+n\big).

lim⁡n→∞(n2+5n−n)=lim⁡n→∞(n2+5n−n)(n2+5n+nn2+5n+n)=lim⁡n→∞(n2+5n)−n2n2+5n+n=lim⁡n→∞5nn2+5n+n=lim⁡n→∞5⋅nn21+5n+nSince n>0, we can simplify n2=n.=lim⁡n→∞5⋅nn1+5n+n=lim⁡n→∞51+5n+1=51+0+1=52\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty}\big(\sqrt{n^2+5n}-n\big) &=\lim_{n \to \infty}\big(\sqrt{n^2+5n}-n\big) \left(\frac{\sqrt{n^2+5n}+n}{\sqrt{n^2+5n}+n}\right)\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(n^2+5n)-n^2}{\sqrt{n^2+5n}+n}\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{5n}{\sqrt{n^2+5n}+n}\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{5\cdot n}{\sqrt{n^2}\sqrt{1+\frac{5}{n}}+n} \\ \text{Since $n>0$, we can simplify $\sqrt{n^2}=n$.} \\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{5\cdot n}{n\sqrt{1+\frac{5}{n}}+n}\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{5}{\sqrt{1+\frac{5}{n}}+1}\\ &=\frac{5}{\sqrt{1+0}+1}=\frac{5}{2} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 1.5절 · 22번우리말 번역

lim⁡x→−∞5x+74x2+15−x\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{5x+7}{\sqrt{4x^2+15}-x} 의 값을 구하세요.

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분모에서 xx 의 최고차항인 xx 로 분자와 분모를 모두 나눈다. x<0x<0 이므로 x2=∣x∣=−x\sqrt{x^2}=|x|=-x 이고, 따라서 4x2+15x=4x2+15−x2=−4x2+15x2=−4+15x2.\frac{\sqrt{4x^2+15}}{x}= \frac{\sqrt{4x^2+15}}{-\sqrt{x^2}} =-\sqrt{\frac{4x^2+15}{x^2}}=-\sqrt{4+\frac{15}{x^2}}. x→−∞x\to -\infty 일 때 1/x→01/x\to 0 이고 1/x2→01/x^2\to 0 이므로 lim⁡x→−∞5x+74x2+15−x=lim⁡x→−∞5+7x−4+15x2−1=5−2−1=−53.\lim_{x\to -\infty} \frac{5x+7}{\sqrt{4x^2+15}-x}=\lim_{x\to -\infty}\frac{5+\frac{7}{x}}{-\sqrt{4+\frac{15}{x^2}}-1}=\frac{5}{-2-1}=-\frac{5}{3}.

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