무한대에서의 극한과 점근선 연습문제 — CLP-1 · 1.5절 · 26번

CLP-1 · 1.5절 · 26번우리말 번역

$\displaystyle \lim_{x \to 3}\dfrac{2x+8}{\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x^2-9}}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle \lim_{x \to 3}\dfrac{2x+8}{\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x^2-9}}$ .

정답·풀이 보기

$x=3$ 은 이 함수의 정의역에 속하지 않으므로, 문제가 되는 항을 약분할 수 있기를 기대하며 식을 간단히 한다.

$\begin{aligned} \lim_{x \to 3}\frac{2x+8}{\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x^2-9}}&=\lim_{x \to 3}\frac{2x+8}{\frac{x+3}{x^2-9}+\frac{1}{x^2-9}}\\ &=\lim_{x \to 3}\frac{2x+8}{\frac{x+4}{x^2-9}}\\ &=\lim_{x \to 3}\frac{(2x+8)(x^2-9)}{x+4}=0 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Since $x=3$ is not in the domain of the function, we simplify, hoping we can cancel a problematic term.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 1.5절 · 27번우리말 번역

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow\infty} f(x) \neq \displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)$ 이고, 두 극한이 모두 (유한한) 실수인 유리함수 $f(x)$ 를 하나 제시하세요.

다 풀었으면 정답 확인

먼저, 무한대에서의 극한이 실수인 유리함수가 필요하다. 이는 분모의 차수가 분자의 차수보다 크거나 같다는 뜻이다. 경우는 두 가지이다. 분모의 차수가 분자의 차수보다 큰 경우와, 분모의 차수가 분자의 차수와 같은 경우이다.

분모의 차수가 분자의 차수보다 크면 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} f(x)=\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)=0$ 이므로 두 극한이 같다. 이는 우리가 찾는 함수가 아니다.

분모의 차수가 분자의 차수와 같으면 $x$ 가 $\pm \infty$ 로 갈 때의 극한은 최고차항의 비이다. 이번에도 두 극한이 같다. 따라서 위와 같은 유리함수는 존재하지 않는다.

이 문제로 이어서 풀기

# 무한대에서의 극한과 점근선계산보통자동 분류