무한대에서의 극한과 점근선 연습문제 — CLP-1 · 1.5절 · 27번

CLP-1 · 1.5절 · 27번우리말 번역

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow\infty} f(x) \neq \displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)$ 이고, 두 극한이 모두 (유한한) 실수인 유리함수 $f(x)$ 를 하나 제시하세요.

영어 원문 보기

Give a rational function $f(x)$ with the properties that $\displaystyle\lim_{x \rightarrow\infty} f(x) \neq \displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)$ , and both limits are (finite) real numbers.

정답·풀이 보기

먼저, 무한대에서의 극한이 실수인 유리함수가 필요하다. 이는 분모의 차수가 분자의 차수보다 크거나 같다는 뜻이다. 경우는 두 가지이다. 분모의 차수가 분자의 차수보다 큰 경우와, 분모의 차수가 분자의 차수와 같은 경우이다.

분모의 차수가 분자의 차수보다 크면 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} f(x)=\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)=0$ 이므로 두 극한이 같다. 이는 우리가 찾는 함수가 아니다.

분모의 차수가 분자의 차수와 같으면 $x$ 가 $\pm \infty$ 로 갈 때의 극한은 최고차항의 비이다. 이번에도 두 극한이 같다. 따라서 위와 같은 유리함수는 존재하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

First, we need a rational function whose limit at infinity is a real number. This means that the degree of the bottom is greater than or equal to the degree of the top. There are two cases: the denominator has higher degree than the numerator, or the denominator has the same degree as the numerator.

If the denominator has higher degree than the numerator, then $\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} f(x)=\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)=0$ , so the limits are equal–not what we're looking for.

If the denominator has the same degree as the numerator, then the limit as $x$ goes to $\pm \infty$ is the ratio of the leading terms: again, the limits are equal. So no rational function exists as described.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 1.5절 · 24번우리말 번역

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\sqrt{n^2+5n}-n\right)$ 의 값을 구하세요.

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식에 그 켤레식 $\big(\sqrt{n^2+5n}+n\big)$ 을 분자와 분모에 곱한다.

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty}\big(\sqrt{n^2+5n}-n\big) &=\lim_{n \to \infty}\big(\sqrt{n^2+5n}-n\big) \left(\frac{\sqrt{n^2+5n}+n}{\sqrt{n^2+5n}+n}\right)\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(n^2+5n)-n^2}{\sqrt{n^2+5n}+n}\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{5n}{\sqrt{n^2+5n}+n}\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{5\cdot n}{\sqrt{n^2}\sqrt{1+\frac{5}{n}}+n} \\ \text{$n>0$이므로 $\sqrt{n^2}=n$ 으로 간단히 할 수 있다.} \\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{5\cdot n}{n\sqrt{1+\frac{5}{n}}+n}\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{5}{\sqrt{1+\frac{5}{n}}+1}\\ &=\frac{5}{\sqrt{1+0}+1}=\frac{5}{2} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 무한대에서의 극한과 점근선계산도전자동 분류