지수함수와 로그함수의 미분 연습문제 — CLP-1 · 2.10절 · 5번

CLP-1 · 2.10절 · 5번우리말 번역

$f(x)=\log(x^2)$ 을 미분하세요.

영어 원문 보기

Differentiate $f(x)=\log(x^2)$ .

정답·풀이 보기

풀이 1: 합성함수의 미분법을 이용하면 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\log(x^2)\right\}=\frac{1}{x^2}\cdot 2x = \frac{2}{x}$ 이다.
풀이 2: 간단히 하면 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\log(x^2)\right\}= \displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{2\log(x)\right\}= \frac{2}{x}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Solution 1: Using the chain rule, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\log(x^2)\right\}=\frac{1}{x^2}\cdot 2x = \frac{2}{x}$ .
Solution 2: Simplifying, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\log(x^2)\right\}= \displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{2\log(x)\right\}= \frac{2}{x}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.10절 · 28번우리말 번역

$f(x)= x^{\cos^3(x)}$ 이라 하자. 단, 정의역은 $(0,\infty)$ 이다. $f'(x)$ 를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

로그미분법을 사용한다. 따라서 함수를 다음과 같이 바꾸어 생각한다.

$\begin{aligned} \log f(x) &= \log(x) \cdot \cos^3(x) \\ \text{미분하면 다음을 얻는다:} \\ \dfrac{f'(x)}{f(x)} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left\{ \log(x) \cdot \cos^3(x) \right\} = 3\cos^2(x)\cdot (-\sin(x)) \cdot \log(x) + \frac{\cos^3(x)}{x} \\ \text{마지막으로 $f'(x)$ 에 대해 풀면:} \\ f'(x) &= f(x) \cdot \left( -3\cos^2(x)\sin(x) \log(x) + \frac{\cos^3(x)}{x} \right) \\ &= x^{\cos^3(x)} \cdot \left( -3\cos^2(x)\sin(x) \log(x) + \frac{\cos^3(x)}{x} \right) \end{aligned}$

참고: 음수가 지수식의 밑일 때에는 복잡하게 행동한다. 예를 들어 식 $(-1)^x$ 은 $x$ 가 홀수의 역수일 때(예: $x=\frac{1}{5}$ 또는 $x=\frac{1}{7}$ )는 정의되지만, $x$ 가 짝수의 역수일 때(예: $x=\frac{1}{2}$ )는 정의되지 않는다. $f(x)$ 의 정의역을 $x$ 가 항상 양수가 되도록 제한했으므로 이러한 복잡한 문제를 피할 수 있다.

이 문제로 이어서 풀기

# 지수함수와 로그함수의 미분계산보통자동 분류