빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 미분법

지수함수와 로그함수의 미분

eˣ, aˣ, ln x, logₐx의 도함수를 구한다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

69문제 · 1 / 4쪽

1.OpenStax 1권 · 3.9절 · 1번우리말 풀이

다음 함수에 대하여 f′(x)f'(x) 를 구하세요.

f(x)=x2exf(x)=x^{2}e^{x}

영어 원문 보기

For the following exercises, find f′(x){f}^{'}(x) for each function.

f(x)=x2exf(x)={x}^{2}{e}^{x}

답 쓰고 채점
풀이 보기

두 함수의 곱은 곱의 미분법 (uv)′=u′v+uv′(uv)'=u'v+uv' 로 미분하고, exe^x 는 미분해도 exe^x 예요.

  1. 1

    x2x^2 과 exe^x 의 곱이므로 곱의 미분법을 써요. u=x2, v=exu=x^2,\ v=e^x 로 놓으면 u′=2x, v′=exu'=2x,\ v'=e^x 예요.

  2. 2

    공식에 넣어요.

    f′(x)=u′v+uv′=2x ex+x2exf'(x)=u'v+uv'=2x\,e^{x}+x^{2}e^{x}

  3. 3

    원하면 exe^x 로 묶어 f′(x)=ex(x2+2x)f'(x)=e^{x}(x^{2}+2x) 로 써도 같은 식이에요.

답

f′(x)=2xex+x2exf'(x)=2xe^{x}+x^{2}e^{x}

자주 하는 실수

곱의 미분을 (uv)′=u′v′(uv)'=u'v' 처럼 각각 따로 미분해서 곱해 버려요.

원본 교재 풀이(영어)

2xex+x2ex2x{e}^{x}+{x}^{2}{e}^{x}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.7절 · 14번
# 지수함수와 로그함수의 미분계산기본
2.OpenStax 1권 · 3.9절 · 9번우리말 풀이

다음 함수에 대하여 f′(x)f'(x) 를 구하세요.

f(x)=xπ⋅πxf(x)=x^{\pi }\cdot \pi^{x}

영어 원문 보기

For the following exercises, find f′(x){f}^{'}(x) for each function.

f(x)=xπ⋅πxf(x)={x}^{\pi }\cdot {\pi }^{x}

답 쓰고 채점
풀이 보기

xπx^{\pi} 는 밑이 변수(거듭제곱함수), πx\pi^x 는 지수가 변수(지수함수)예요. 둘의 미분 공식이 다르다는 걸 구별해요.

  1. 1

    두 함수의 곱이므로 곱의 미분법을 써요. u=xπu=x^{\pi}, v=πxv=\pi^{x} 로 놓아요.

  2. 2

    u=xπu=x^{\pi} 는 xx 의 거듭제곱이에요. π\pi 는 그냥 상수이므로 (xn)′=nxn−1(x^n)'=nx^{n-1} 을 그대로 써요.

    u′=πxπ−1u'=\pi x^{\pi-1}

  3. 3

    v=πxv=\pi^{x} 는 지수에 xx 가 있는 지수함수예요. (ax)′=axln⁡a(a^x)'=a^x\ln a 이므로

    v′=πxln⁡πv'=\pi^{x}\ln\pi

  4. 4

    곱의 미분법 u′v+uv′u'v+uv' 에 넣어요.

    f′(x)=πxπ−1⋅πx+xπ⋅πxln⁡πf'(x)=\pi x^{\pi-1}\cdot\pi^{x}+x^{\pi}\cdot\pi^{x}\ln\pi

답

f′(x)=πxπ−1⋅πx+xπ⋅πxln⁡πf'(x)=\pi x^{\pi-1}\cdot\pi^{x}+x^{\pi}\cdot\pi^{x}\ln\pi

자주 하는 실수

πx\pi^x 를 거듭제곱처럼 xπx−1x\pi^{x-1} 로 미분하거나, xπx^{\pi} 를 지수함수처럼 xπln⁡xx^{\pi}\ln x 로 미분해요.

원본 교재 풀이(영어)

πxπ−1⋅πx+xπ⋅πxln⁡π\pi {x}^{\pi -1}\cdot {\pi }^{x}+{x}^{\pi }\cdot {\pi }^{x}\ln \pi

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.9절 · 1번
# 지수함수와 로그함수의 미분계산보통
3.OpenStax 1권 · 3.9절 · 17번우리말 풀이

로그미분법을 이용하여 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

y=(sin⁡2x)4xy={(\sin 2x)}^{4x}

영어 원문 보기

For the following exercises, use logarithmic differentiation to find dydx.\frac{dy}{dx}.

y=(sin⁡2x)4xy={(\sin 2x)}^{4x}

답 쓰고 채점
풀이 보기

밑과 지수에 모두 xx 가 있으면 양변에 자연로그를 취해 지수를 앞으로 내린 뒤 미분해요.

  1. 1

    밑과 지수에 모두 xx 가 있어서 바로 미분 공식을 쓸 수 없어요. 양변에 자연로그를 취하면 지수가 앞으로 내려와요.

    ln⁡y=4xln⁡(sin⁡2x)\ln y=4x\ln(\sin 2x)

  2. 2

    양변을 xx 에 대해 미분해요. 왼쪽은 합성함수 미분으로 1ydydx\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} 가 돼요. 오른쪽은 4x4x 와 ln⁡(sin⁡2x)\ln(\sin 2x) 의 곱이므로 곱의 미분법을 써요.

    1ydydx=4ln⁡(sin⁡2x)+4x⋅(sin⁡2x)′sin⁡2x\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=4\ln(\sin 2x)+4x\cdot\frac{(\sin 2x)'}{\sin 2x}

  3. 3

    (sin⁡2x)′=2cos⁡2x(\sin 2x)'=2\cos 2x 이므로 2cos⁡2xsin⁡2x=2cot⁡2x\dfrac{2\cos 2x}{\sin 2x}=2\cot 2x 예요. 따라서

    1ydydx=4ln⁡(sin⁡2x)+8xcot⁡2x\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=4\ln(\sin 2x)+8x\cot 2x

  4. 4

    양변에 yy 를 곱하고 yy 를 원래 식으로 되돌려요.

    dydx=(sin⁡2x)4x[4ln⁡(sin⁡2x)+8xcot⁡2x]\frac{dy}{dx}={(\sin 2x)}^{4x}\Big[4\ln(\sin 2x)+8x\cot 2x\Big]

답

dydx=(sin⁡2x)4x[4ln⁡(sin⁡2x)+8xcot⁡2x]\dfrac{dy}{dx}={(\sin 2x)}^{4x}\left[4\ln(\sin 2x)+8x\cot 2x\right]

자주 하는 실수

마지막에 yy 를 곱하는 것을 잊거나, sin⁡2x\sin 2x 의 속미분 22 를 빠뜨려요.

원본 교재 풀이(영어)

(sin⁡2x)4x[4⋅ln⁡(sin⁡2x)+8x⋅cot⁡2x]{(\sin 2x)}^{4x}[4\cdot \ln (\sin 2x)+8x\cdot \cot 2x]

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.9절 · 9번
# 지수함수와 로그함수의 미분계산보통
4.OpenStax 1권 · 3.9절 · 2번우리말 번역

다음 문제에서 각 함수에 대해 f′(x){f}^{'}(x) 를 구하세요.

f(x)=e−xxf(x)=\frac{{e}^{-x}}{x}

영어 원문 보기

For the following exercises, find f′(x){f}^{'}(x) for each function.

f(x)=e−xxf(x)=\frac{{e}^{-x}}{x}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.7절 · 6번
# 지수함수와 로그함수의 미분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
5.OpenStax 1권 · 3.9절 · 3번우리말 번역

다음 문제에서 각 함수에 대해 f′(x){f}^{'}(x) 를 구하세요.

f(x)=ex3ln⁡xf(x)={e}^{{x}^{3}\ln x}

영어 원문 보기

For the following exercises, find f′(x){f}^{'}(x) for each function.

f(x)=ex3ln⁡xf(x)={e}^{{x}^{3}\ln x}

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

ex3ln⁡x(3x2ln⁡x+x2){e}^{{x}^{3}\ln x}(3{x}^{2}\ln x+{x}^{2})

원본 교재 풀이(영어)

ex3ln⁡x(3x2ln⁡x+x2){e}^{{x}^{3}\ln x}(3{x}^{2}\ln x+{x}^{2})

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.9절 · 7번
# 지수함수와 로그함수의 미분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
6.OpenStax 1권 · 3.9절 · 4번우리말 번역

다음 연습문제에서 각 함수에 대해 f′(x){f}^{'}(x) 를 구하세요.

f(x)=e2x+2xf(x)=\sqrt{{e}^{2x}+2x}

영어 원문 보기

For the following exercises, find f′(x){f}^{'}(x) for each function.

f(x)=e2x+2xf(x)=\sqrt{{e}^{2x}+2x}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.10절 · 2번
# 지수함수와 로그함수의 미분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
7.OpenStax 1권 · 3.9절 · 5번우리말 번역

다음 연습문제에서 각 함수에 대해 f′(x){f}^{'}(x) 를 구하세요.

f(x)=ex−e−xex+e−xf(x)=\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{{e}^{x}+{e}^{-x}}

영어 원문 보기

For the following exercises, find f′(x){f}^{'}(x) for each function.

f(x)=ex−e−xex+e−xf(x)=\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{{e}^{x}+{e}^{-x}}

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

4(ex+e−x)2\frac{4}{{({e}^{x}+{e}^{-x})}^{2}}

원본 교재 풀이(영어)

4(ex+e−x)2\frac{4}{{({e}^{x}+{e}^{-x})}^{2}}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.9절 · 29번
# 지수함수와 로그함수의 미분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
8.OpenStax 1권 · 3.9절 · 6번우리말 번역

다음 연습문제에서 각 함수에 대해 f′(x){f}^{'}(x) 를 구하세요.

f(x)=10xln⁡10f(x)=\frac{{10}^{x}}{\ln 10}

영어 원문 보기

For the following exercises, find f′(x){f}^{'}(x) for each function.

f(x)=10xln⁡10f(x)=\frac{{10}^{x}}{\ln 10}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.9절 · 35번
# 지수함수와 로그함수의 미분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
9.OpenStax 1권 · 3.9절 · 7번우리말 번역

다음 연습문제에서 각 함수에 대해 f′(x){f}^{'}(x) 를 구하세요.

f(x)=24x+4x2f(x)={2}^{4x}+4{x}^{2}

영어 원문 보기

For the following exercises, find f′(x){f}^{'}(x) for each function.

f(x)=24x+4x2f(x)={2}^{4x}+4{x}^{2}

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

24x+2⋅ln⁡2+8x{2}^{4x+2}\cdot \ln 2+8x

원본 교재 풀이(영어)

24x+2⋅ln⁡2+8x{2}^{4x+2}\cdot \ln 2+8x

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.9절 · 5번
# 지수함수와 로그함수의 미분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
10.OpenStax 1권 · 3.9절 · 8번우리말 번역

다음 연습문제에서 각 함수에 대해 f′(x){f}^{'}(x) 를 구하세요.

f(x)=3sin⁡3xf(x)={3}^{\sin 3\text{x}}

영어 원문 보기

For the following exercises, find f′(x){f}^{'}(x) for each function.

f(x)=3sin⁡3xf(x)={3}^{\sin 3\text{x}}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.10절 · 15번
# 지수함수와 로그함수의 미분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
11.OpenStax 1권 · 3.9절 · 10번우리말 번역

다음 연습문제에서 각 함수에 대해 f′(x){f}^{'}(x) 를 구하세요.

f(x)=ln⁡(4x3+x)f(x)=\ln (4{x}^{3}+x)

영어 원문 보기

For the following exercises, find f′(x){f}^{'}(x) for each function.

f(x)=ln⁡(4x3+x)f(x)=\ln (4{x}^{3}+x)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.10절 · 31번
# 지수함수와 로그함수의 미분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
12.OpenStax 1권 · 3.9절 · 11번우리말 번역

다음 연습문제에서 각 함수에 대해 f′(x){f}^{'}(x) 를 구하세요.

f(x)=ln⁡5x−7f(x)=\ln \sqrt{5x-7}

영어 원문 보기

For the following exercises, find f′(x){f}^{'}(x) for each function.

f(x)=ln⁡5x−7f(x)=\ln \sqrt{5x-7}

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

52(5x−7)\frac{5}{2(5x-7)}

원본 교재 풀이(영어)

52(5x−7)\frac{5}{2(5x-7)}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.10절 · 27번
# 지수함수와 로그함수의 미분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
13.OpenStax 1권 · 3.9절 · 12번우리말 번역

다음 연습문제에서 각 함수에 대해 f′(x){f}^{'}(x) 를 구하세요.

f(x)=x2ln⁡9xf(x)={x}^{2}\ln 9x

영어 원문 보기

For the following exercises, find f′(x){f}^{'}(x) for each function.

f(x)=x2ln⁡9xf(x)={x}^{2}\ln 9x

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.7절 · 1번
# 지수함수와 로그함수의 미분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
14.OpenStax 1권 · 3.9절 · 13번우리말 번역

다음 연습문제에서 각 함수에 대해 f′(x){f}^{'}(x) 를 구하세요.

f(x)=log⁡(sec⁡x)f(x)=\log (\sec x)

영어 원문 보기

For the following exercises, find f′(x){f}^{'}(x) for each function.

f(x)=log⁡(sec⁡x)f(x)=\log (\sec x)

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

tan⁡xln⁡10\frac{\tan x}{\ln 10}

원본 교재 풀이(영어)

tan⁡xln⁡10\frac{\tan x}{\ln 10}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.9절 · 11번
# 지수함수와 로그함수의 미분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
15.OpenStax 1권 · 3.9절 · 14번우리말 번역

다음 연습문제에서 각 함수의 f′(x){f}^{'}(x) 를 구하세요.

f(x)=log⁡7(6x4+3)5f(x)={\log }_{7}{(6{x}^{4}+3)}^{5}

영어 원문 보기

For the following exercises, find f′(x){f}^{'}(x) for each function.

f(x)=log⁡7(6x4+3)5f(x)={\log }_{7}{(6{x}^{4}+3)}^{5}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.9절 · 13번
# 지수함수와 로그함수의 미분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
16.OpenStax 1권 · 3.9절 · 15번우리말 번역

다음 연습문제에서 각 함수의 f′(x){f}^{'}(x) 를 구하세요.

f(x)=2x⋅log⁡37x2−4f(x)={2}^{x}\cdot {\log }_{3}{7}^{{x}^{2}-4}

영어 원문 보기

For the following exercises, find f′(x){f}^{'}(x) for each function.

f(x)=2x⋅log⁡37x2−4f(x)={2}^{x}\cdot {\log }_{3}{7}^{{x}^{2}-4}

정답·풀이 보기

2x⋅ln⁡2⋅log⁡37x2−4+2x⋅2xln⁡7ln⁡3{2}^{x}\cdot \ln 2\cdot {\log }_{3}{7}^{{x}^{2}-4}+{2}^{x}\cdot \frac{2x\ln 7}{\ln 3}

원본 교재 풀이(영어)

2x⋅ln⁡2⋅log⁡37x2−4+2x⋅2xln⁡7ln⁡3{2}^{x}\cdot \ln 2\cdot {\log }_{3}{7}^{{x}^{2}-4}+{2}^{x}\cdot \frac{2x\ln 7}{\ln 3}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.9절 · 13번
# 지수함수와 로그함수의 미분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
17.OpenStax 1권 · 3.9절 · 16번우리말 번역

다음 연습문제에서 로그미분법을 이용하여 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

y=xxy={x}^{\sqrt{x}}

영어 원문 보기

For the following exercises, use logarithmic differentiation to find dydx.\frac{dy}{dx}.

y=xxy={x}^{\sqrt{x}}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.10절 · 8번
# 지수함수와 로그함수의 미분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
18.OpenStax 1권 · 3.9절 · 18번우리말 번역

다음 연습문제에서 로그미분법을 이용하여 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

y=(ln⁡x)ln⁡xy={(\ln x)}^{\ln x}

영어 원문 보기

For the following exercises, use logarithmic differentiation to find dydx.\frac{dy}{dx}.

y=(ln⁡x)ln⁡xy={(\ln x)}^{\ln x}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.10절 · 4번
# 지수함수와 로그함수의 미분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
19.OpenStax 1권 · 3.9절 · 19번우리말 번역

다음 연습문제에서 로그 미분법을 사용하여 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

y=xlog⁡2xy={x}^{{\log }_{2}x}

영어 원문 보기

For the following exercises, use logarithmic differentiation to find dydx.\frac{dy}{dx}.

y=xlog⁡2xy={x}^{{\log }_{2}x}

정답·풀이 보기

xlog⁡2x⋅2ln⁡xxln⁡2{x}^{{\log }_{2}x}\cdot \frac{2\ln x}{x\ln 2}

원본 교재 풀이(영어)

xlog⁡2x⋅2ln⁡xxln⁡2{x}^{{\log }_{2}x}\cdot \frac{2\ln x}{x\ln 2}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.9절 · 15번
# 지수함수와 로그함수의 미분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
20.OpenStax 1권 · 3.9절 · 20번우리말 번역

다음 연습문제에서 로그 미분법을 사용하여 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

y=(x2−1)ln⁡xy={({x}^{2}-1)}^{\ln x}

영어 원문 보기

For the following exercises, use logarithmic differentiation to find dydx.\frac{dy}{dx}.

y=(x2−1)ln⁡xy={({x}^{2}-1)}^{\ln x}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.9절 · 13번
# 지수함수와 로그함수의 미분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)