지수함수와 로그함수의 미분 연습문제 — CLP-1 · 2.10절 · 9번

CLP-1 · 2.10절 · 9번우리말 번역

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta} \log(\sec \theta)$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta} \log(\sec \theta)$ .

정답·풀이 보기

연쇄 법칙을 사용하면

$\begin{aligned} \displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta} \log(\sec \theta)&=\frac{1}{\sec \theta}\cdot (\sec \theta \cdot \tan \theta)\\ &=\tan\theta \end{aligned}$

참고: 함수 $\log(\sec \theta)$ 의 정의역은 $\sec\theta$ 가 양수가 되는 $\theta$ 의 값들이다. 따라서 $n$ 이 임의의 정수일 때 구간 $\left(\left(2n-\frac{1}{2}\right)\pi,\left(2n+\frac{1}{2}\right)\pi\right)$ 가 정의역이다. 탄젠트 함수의 정의역은 분명 이보다 넓지만, $\log(\sec \theta)$ 의 정의역 밖에서는 $\tan \theta$ 가 $\log(\sec \theta)$ 의 도함수가 아니다.

원본 교재 풀이(영어)

Using the chain rule,

$\begin{aligned} \displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta} \log(\sec \theta)&=\frac{1}{\sec \theta}\cdot (\sec \theta \cdot \tan \theta)\\ &=\tan\theta \end{aligned}$

Remark: the domain of the function $\log(\sec \theta)$ is those values of $\theta$ for which $\sec\theta$ is positive: so, the intervals $\left(\left(2n-\frac{1}{2}\right)\pi,\left(2n+\frac{1}{2}\right)\pi\right)$ where $n$ is any integer. Certainly the tangent function has a larger domain than this, but outside the domain of $\log(\sec \theta)$ , $\tan \theta$ is not the derivative of $\log(\sec \theta)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.10절 · 12번우리말 번역

$\sqrt{-\log(\cos x)}$ 을 미분하세요.

다 풀었으면 정답 확인

이 문제는 연쇄 법칙을 두 번 적용해야 한다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left\{ \sqrt{-\log(\cos x)} \right\} &= \frac{1}{2\sqrt{ -\log(\cos x)}} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left\{ -\log\left(\cos x\right) \right\}\\ &= -\frac{1}{2\sqrt{-\log(\cos x)}} \cdot \frac{1}{ \cos x} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left\{ \cos x \right\}\\ &= -\frac{1}{2\sqrt{-\log(\cos x)}} \cdot \frac{1}{\cos x} \cdot \left(-\sin x\right)\\ &=\frac{\tan x}{2\sqrt{-\log(\cos x)}} \end{aligned}$

참고: 제곱근 안에 음의 부호가 있는 것이 이상해 보일 수 있다. 코사인 함수의 값은 항상 1 이하이므로, $\log(\cos x)$ 는 정의역 전체에서 항상 음수이거나 0이다. 따라서 $\sqrt{\log(\cos x)}$ 는 $\cos x=1$ 인 점에서만 정의된다(그러면 $\log(\cos x) = 0$ 이다. 이는 별로 흥미로운 함수가 아니다! 반면 $-\log(\cos x)$ 는 정의역 전체에서 항상 양수이거나 0이므로, 언제나 제곱근을 취할 수 있다.

이 문제로 이어서 풀기

# 지수함수와 로그함수의 미분계산보통자동 분류