역삼각함수의 미분 연습문제 — CLP-1 · 2.12절 · 1번

CLP-1 · 2.12절 · 1번대학 수준우리말 번역

다음 각 함수의 정의역을 구하세요. $\text{(a) } f(x)=\arcsin(\cos x)\qquad \text{(b) }g(x)=\mathop{\mathrm{arccsc}}(\cos x)\qquad \text{(c) } h(x)=\sin(\arccos x)$

영어 원문 보기

Give the domains of each of the following functions. $\text{(a) } f(x)=\arcsin(\cos x)\qquad \text{(b) }g(x)=\mathop{\mathrm{arccsc}}(\cos x)\qquad \text{(c) } h(x)=\sin(\arccos x)$

정답·풀이 보기

(a) 코사인 함수에는 어떤 수를 대입해도 되고, 그 값은 $[-1,1]$ 안의 수이다. $\arcsin x$ 의 정의역은 $[-1,1]$ 이므로, 코사인에 어떤 수를 대입하더라도 그 결과는 아크사인에 대입할 수 있는 올바른 수이다. 따라서 $f(x)$ 의 정의역은 모든 실수이다.

(b) 코사인 함수에는 어떤 수를 대입해도 되고, 그 값은 $[-1,1]$ 안의 수이다. $\mathop{\mathrm{arccsc}} x$ 의 정의역은 $(-\infty,-1] \cup [1,\infty)$ 이므로, 아크코시컨트에 대입할 수 있는 올바른 수가 되려면 $\cos x = \pm 1$ 이어야 한다. 즉, $g(x)$ 의 정의역은 어떤 정수 $n$ 에 대하여 $x=n\pi$ 인 모든 값이다.

(c) 아크코사인의 정의역은 $[-1,1]$ 이다. 사인 함수의 정의역은 모든 실수이므로, 아크코사인이 어떤 수를 내놓더라도 그 수를 사인에 안전하게 대입할 수 있다. 따라서 $h(x)$ 의 정의역은 $[-1,1]$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) We can plug any number into the cosine function, and it will return a number in $[-1,1]$ . The domain of $\arcsin x$ is $[-1,1]$ , so any number we plug into cosine will give us a valid number to plug into arcsine. So, the domain of $f(x)$ is all real numbers.

(b) We can plug any number into the cosine function, and it will return a number in $[-1,1]$ . The domain of $\mathop{\mathrm{arccsc}} x$ is $(-\infty,-1] \cup [1,\infty)$ , so in order to have a valid number to plug into arccosecant, we need $\cos x = \pm 1$ . That is, the domain of $g(x)$ is all values $x=n\pi$ for some integer $n$ .

(c) The domain of arccosine is $[-1,1]$ . The domain of sine is all real numbers, so no matter what number arccosine spits out, we can safely plug it into sine. So, the domain of $h(x)$ is $[-1,1]$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.12절 · 16번우리말 번역

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\sin\left(\arctan(x) \right)\right\} = (x^2+1)^{-3/2}$ 임을 보이세요.

다 풀었으면 정답 확인

$\theta = \arctan x$ 라 하자. 그러면 $\theta$ 는 $\tan \theta = x$ 를 만족하는 직각삼각형의 한 각이다. 특히 반대변과 인접변의 길이의 비는 $x$ 이다. 따라서 다음과 같은 삼각형을 얻는다.

여기서 빗변의 길이는 피타고라스 정리에서 얻은 것이다. 이제, $\sin\left(\arctan x\right) = \sin \theta = \frac{\text{opp}}{\text{hyp}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ 이로부터 몫의 미분법을 이용하여 미분하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \right\}&= \frac{\sqrt{x^2+1}-x\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}\\ &=\left(\frac{\sqrt{x^2+1}-\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}\right)\cdot\frac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}\\ &=\frac{(x^2+1)-x^2}{(x^2+1)^{3/2}}\\ &=\frac{1}{(x^2+1)^{3/2}}=(x^2+1)^{-3/2} \end{aligned}$

참고: 또 다른 방법은 먼저 합성함수의 미분법을 이용하여 미분한 다음, 삼각형을 그려서 얻은 식을 간단히 하는 것이다. $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\sin\left(\arctan x\right)\right\}=\dfrac{\cos(\arctan x)}{1+x^2}$ .

이 문제로 이어서 풀기

# 역삼각함수의 미분계산기본자동 분류