빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 극한·미분 심화

역삼각함수의 미분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-1 · 2.12절 · 16번대학 수준우리말 번역

ddx{sin⁡(arctan⁡(x))}=(x2+1)−3/2\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\sin\left(\arctan(x) \right)\right\} = (x^2+1)^{-3/2} 임을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that ddx{sin⁡(arctan⁡(x))}=(x2+1)−3/2\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\sin\left(\arctan(x) \right)\right\} = (x^2+1)^{-3/2}.

정답·풀이 보기

θ=arctan⁡x\theta = \arctan x 라 하자. 그러면 θ\theta 는 tan⁡θ=x\tan \theta = x 를 만족하는 직각삼각형의 한 각이다. 특히 반대변과 인접변의 길이의 비는 xx 이다. 따라서 다음과 같은 삼각형을 얻는다.

그림

여기서 빗변의 길이는 피타고라스 정리에서 얻은 것이다. 이제, sin⁡(arctan⁡x)=sin⁡θ=opphyp=xx2+1\sin\left(\arctan x\right) = \sin \theta = \frac{\text{opp}}{\text{hyp}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} 이로부터 몫의 미분법을 이용하여 미분하면 다음과 같다.

ddx{xx2+1}=x2+1−x2x2x2+1x2+1=(x2+1−x2x2+1x2+1)⋅x2+1x2+1=(x2+1)−x2(x2+1)3/2=1(x2+1)3/2=(x2+1)−3/2\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \right\}&= \frac{\sqrt{x^2+1}-x\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}\\ &=\left(\frac{\sqrt{x^2+1}-\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}\right)\cdot\frac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}\\ &=\frac{(x^2+1)-x^2}{(x^2+1)^{3/2}}\\ &=\frac{1}{(x^2+1)^{3/2}}=(x^2+1)^{-3/2} \end{aligned}

참고: 또 다른 방법은 먼저 합성함수의 미분법을 이용하여 미분한 다음, 삼각형을 그려서 얻은 식을 간단히 하는 것이다. ddx{sin⁡(arctan⁡x)}=cos⁡(arctan⁡x)1+x2\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\sin\left(\arctan x\right)\right\}=\dfrac{\cos(\arctan x)}{1+x^2}.

원본 교재 풀이(영어)

Let θ=arctan⁡x\theta = \arctan x. Then θ\theta is the angle of a right triangle that gives tan⁡θ=x\tan \theta = x. In particular, the ratio of the opposite side to the adjacent side is xx. So, we have a triangle that looks like this:

figure

where the length of the hypotenuse came from the Pythagorean Theorem. Now, sin⁡(arctan⁡x)=sin⁡θ=opphyp=xx2+1\sin\left(\arctan x\right) = \sin \theta = \frac{\text{opp}}{\text{hyp}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} From here, we differentiate using the quotient rule:

ddx{xx2+1}=x2+1−x2x2x2+1x2+1=(x2+1−x2x2+1x2+1)⋅x2+1x2+1=(x2+1)−x2(x2+1)3/2=1(x2+1)3/2=(x2+1)−3/2\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \right\}&= \frac{\sqrt{x^2+1}-x\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}\\ &=\left(\frac{\sqrt{x^2+1}-\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}\right)\cdot\frac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}\\ &=\frac{(x^2+1)-x^2}{(x^2+1)^{3/2}}\\ &=\frac{1}{(x^2+1)^{3/2}}=(x^2+1)^{-3/2} \end{aligned}

Remark: another strategy is to differentiate first, using the chain rule, then draw a triangle to simplify the resulting expression ddx{sin⁡(arctan⁡x)}=cos⁡(arctan⁡x)1+x2\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\sin\left(\arctan x\right)\right\}=\dfrac{\cos(\arctan x)}{1+x^2}.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.12절 · 17번우리말 번역

ddx{cot⁡(arcsin⁡(x))}=−1x21−x2\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\cot\left(\arcsin(x) \right)\right\} = \dfrac{-1}{x^2\sqrt{1-x^2}} 임을 보이세요.

다 풀었으면 정답 확인

θ=arcsin⁡x\theta = \arcsin x 라 하자. 그러면 θ\theta 는 sin⁡θ=x\sin \theta = x 를 만족하는 직각삼각형의 한 각이다. 특히 빗변에 대한 반대쪽 변의 길이의 비가 xx 이다. 따라서 다음과 같은 삼각형을 얻는다:

그림

여기서 이웃한 변의 길이는 피타고라스 정리로부터 얻은 것이다. 이제, cot⁡(arcsin⁡x)=cot⁡θ=adjopp=1−x2x\cot\left(\arcsin x\right) = \cot \theta = \frac{\text{adj}}{\text{opp}} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} 여기서부터 몫의 미분법을 이용하여 미분한다:

ddx{1−x2x}=x−2x21−x2−1−x2x2=−x2−(1−x2)x21−x2=−1x21−x2\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{\sqrt{1-x^2}}{x} \right\}&= \frac{x\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}-\sqrt{1-x^2}}{x^2}\\ &=\frac{-x^2-(1-x^2)}{x^2\sqrt{1-x^2}}\\ &=\frac{-1}{x^2\sqrt{1-x^2}} \end{aligned}

참고: 다른 방법으로는 먼저 연쇄 법칙(합성함수의 미분법)을 이용하여 미분한 다음, 삼각형을 그려 얻어진 식을 간단히 할 수 있다. ddx{cot⁡(arcsin⁡x)}=−csc⁡2(arcsin⁡x)1−x2\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\cot\left(\arcsin x\right)\right\}=\frac{-\csc^2(\arcsin x)}{\sqrt{1-x^2}}.

이 문제로 이어서 풀기
# 역삼각함수의 미분증명·논술보통자동 분류

「역삼각함수의 미분」 문제 목록으로