역삼각함수의 미분 연습문제 — CLP-1 · 2.12절 · 4번

CLP-1 · 2.12절 · 4번대학 수준우리말 번역

$a$ 를 어떤 상수라고 하자. 곡선 $y=ax+\cos x$ 는 어디에서 수평인 접선을 갖는지 구하세요.

영어 원문 보기

Let $a$ be some constant. Where does the curve $y=ax+\cos x$ have a horizontal tangent line?

정답·풀이 보기

접선이 수평이려면 $0=y'=a-\sin x$ 이어야 한다. 즉, $a=\sin x$ 일 때이다.

$|a|>1$ 이면, $a=\sin x$ 를 만족시키는 $x$ 의 값이 없으므로 곡선은 수평인 접선을 갖지 않는다.
$|a| = 1$ 이면, $a=\sin x$ 의 해는 무수히 많지만 구간 $[-\pi,\pi]$ 에서의 해는 $x=\arcsin(a)=\arcsin(\pm1)=\pm\frac{\pi}{2}$ 하나뿐이다. 그러면 $a=\sin x$ 를 만족시키는 $x$ 의 값은 임의의 정수 $n$ 에 대해 $x=2\pi n +a \frac{\pi}{2}$ 이다.
$|a|<1$ 이면, $a=\sin x$ 의 해는 무수히 많다. 구간 $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ 에서의 해는 $x=\arcsin(a)$ 로 주어진다. 구간 $\left(-\pi,\pi\right)$ 에서의 다른 해는 아래의 단위원에서 보듯이 $x=\pi-\arcsin(a)$ 로 주어진다.

따라서 $x=\sin a$ 를 만족시키는 $x$ 의 값은 임의의 정수 $n$ 에 대해 $x=2\pi n+\arcsin(a)$ 와 $x=2\pi n + \pi - \arcsin (a)$ 이다.

참고: $a=1$ 일 때, $2\pi n+\arcsin(a) = 2\pi n + \dfrac{\pi}{2}=2\pi n +\pi -\left(\dfrac {\pi}{2}\right)=2\pi n+\pi-\arcsin(a)$ 이다. 마찬가지로 $a=-1$ 일 때, $2\pi n+\arcsin(a) = 2\pi n - \dfrac{\pi}{2}=2\pi (n-1) +\pi -\left(-\dfrac {\pi}{2}\right) =2\pi(n-1)+\pi-\arcsin(a)$ 이다. 따라서 $|a|=1$ 일 때 접선이 수평인 점을 세 번째 항목의 표현으로 나타내려 하면, 올바른 점들을 얻기는 하지만 각 점이 두 번씩 나열된다. 이것이 $|a|=1$ 인 경우를 $|a|<1$ 인 경우와 따로 나눈 이유이다.

원본 교재 풀이(영어)

The tangent line is horizontal when $0=y'=a-\sin x$ . That is, when $a=\sin x$ .

If $|a|>1$ , then there is no value of $x$ for which $a=\sin x$ , so the curve has no horizontal tangent lines.
If $|a| = 1$ , then there are infinitely many solutions to $a=\sin x$ , but only one solution in the interval $[-\pi,\pi]$ : $x=\arcsin(a)=\arcsin(\pm1)=\pm\frac{\pi}{2}$ . Then the values of $x$ for which $a=\sin x$ are $x=2\pi n +a \frac{\pi}{2}$ for any integer $n$ .
If $|a|<1$ , then there are infinitely many solutions to $a=\sin x$ . The solution in the interval $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ is given by $x=\arcsin(a)$ . The other solution in the interval $\left(-\pi,\pi\right)$ is given by $x=\pi-\arcsin(a)$ , as shown in the unit circles below.

So, the values of $x$ for which $x=\sin a$ are $x=2\pi n+\arcsin(a)$ and $x=2\pi n + \pi - \arcsin (a)$ for any integer $n$ .

Remark: when $a=1$ , then $2\pi n+\arcsin(a) = 2\pi n + \dfrac{\pi}{2}=2\pi n +\pi -\left(\dfrac {\pi}{2}\right)=2\pi n+\pi-\arcsin(a).$ Similarly, when $a=-1$ , $2\pi n+\arcsin(a) = 2\pi n - \dfrac{\pi}{2}=2\pi (n-1) +\pi -\left(-\dfrac {\pi}{2}\right) =2\pi(n-1)+\pi-\arcsin(a).$ So, if we try to use the descriptions in the third bullet point to describe points where the tangent line is horizontal when $|a|=1$ , we get the correct points but each point is listed twice. This is why we separated the case $|a|=1$ from the case $|a|<1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.12절 · 21번우리말 번역

$f(x) = 2x-\sin(x)$ 는 일대일함수이다. $\big(f^{-1}\big)'(\pi-1)$ 의 값을 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$g(y)=f^{-1}(y)$ 라 하자. 그러면 $g(f(x))=x$ 이므로 양변을 (연쇄 법칙을 이용하여) 미분하면 다음을 얻는다.

$\begin{aligned} g'(f(x))\cdot f'(x)=1 \\ \text{우리가 구하려는 것은 $g'(\pi-1)$ 이므로 $f(x)=\pi-1$ 을 만족하는 $x$ 의 값을 알아내야 한다. 약간의 시행착오를 거치면 $x=\frac{\pi}{2}$ 임을 알 수 있다.} \\ g'(\pi-1)\cdot f'\left(\frac{\pi}{2}\right)&=1 \\ \text{$f'(x)=2-\cos(x)$ 이므로 $f'\left(\frac{\pi}{2}\right)=2-0=2$ 이다:} \\ g'(\pi-1)\cdot 2&=1\\ g'(\pi-1)=\frac{1}{2} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 역삼각함수의 미분계산기본자동 분류