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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 극한·미분 심화

역삼각함수의 미분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-1 · 2.12절 · 21번대학 수준우리말 번역

f(x)=2x−sin⁡(x)f(x) = 2x-\sin(x) 는 일대일함수이다. (f−1)′(π−1)\big(f^{-1}\big)'(\pi-1) 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

f(x)=2x−sin⁡(x)f(x) = 2x-\sin(x) is one–to–one. Find (f−1)′(π−1)\big(f^{-1}\big)'(\pi-1).

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

g(y)=f−1(y)g(y)=f^{-1}(y) 라 하자. 그러면 g(f(x))=xg(f(x))=x 이므로 양변을 (연쇄 법칙을 이용하여) 미분하면 다음을 얻는다.

g′(f(x))⋅f′(x)=1우리가 구하려는 것은 g′(π−1) 이므로 f(x)=π−1 을 만족하는 x 의 값을 알아내야 한다. 약간의 시행착오를 거치면 x=π2 임을 알 수 있다.g′(π−1)⋅f′(π2)=1f′(x)=2−cos⁡(x) 이므로 f′(π2)=2−0=2 이다:g′(π−1)⋅2=1g′(π−1)=12\begin{aligned} g'(f(x))\cdot f'(x)=1 \\ \text{우리가 구하려는 것은 $g'(\pi-1)$ 이므로 $f(x)=\pi-1$ 을 만족하는 $x$ 의 값을 알아내야 한다. 약간의 시행착오를 거치면 $x=\frac{\pi}{2}$ 임을 알 수 있다.} \\ g'(\pi-1)\cdot f'\left(\frac{\pi}{2}\right)&=1 \\ \text{$f'(x)=2-\cos(x)$ 이므로 $f'\left(\frac{\pi}{2}\right)=2-0=2$ 이다:} \\ g'(\pi-1)\cdot 2&=1\\ g'(\pi-1)=\frac{1}{2} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

Write g(y)=f−1(y)g(y)=f^{-1}(y). Then g(f(x))=xg(f(x))=x, so differentiating both sides (using the chain rule), we see

g′(f(x))⋅f′(x)=1What we want is g′(π−1), so we need to figure out which value of x gives f(x)=π−1. A little trial and error leads us to x=π2.g′(π−1)⋅f′(π2)=1Since f′(x)=2−cos⁡(x), f′(π2)=2−0=2:g′(π−1)⋅2=1g′(π−1)=12\begin{aligned} g'(f(x))\cdot f'(x)=1 \\ \text{What we want is $g'(\pi-1)$, so we need to figure out which value of $x$ gives $f(x)=\pi-1$. A little trial and error leads us to $x=\frac{\pi}{2}$.} \\ g'(\pi-1)\cdot f'\left(\frac{\pi}{2}\right)&=1 \\ \text{Since $f'(x)=2-\cos(x)$, $f'\left(\frac{\pi}{2}\right)=2-0=2$:} \\ g'(\pi-1)\cdot 2&=1\\ g'(\pi-1)=\frac{1}{2} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.12절 · 20번우리말 번역

f(x)=x+cos⁡xf(x) = x + \cos x 라 하고, g(y)=f−1(y)g(y) = f^{-1}(y) 를 역함수라 하자. g′(y)g'(y) 를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

g(y)=f−1(y)g(y)=f^{-1}(y) 이므로

f(g(y))=f(f−1(y))=y이제 연쇄 법칙을 이용하여 y 에 대해 미분할 수 있다.ddy{f(g(y))}=ddy{y}f′(g(y))⋅g′(y)=1g′(y)=1f′(g(y))=11−sin⁡g(y)\begin{aligned} f(g(y))&=f\left(f^{-1}(y)\right)=y \\ \text{이제 연쇄 법칙을 이용하여 $y$ 에 대해 미분할 수 있다.} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\left\{f(g(y))\right\}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\{y\}\\ f'(g(y))\cdot g'(y)&=1\\ g'(y)&=\frac{1}{f'(g(y))}=\frac{1}{1-\sin g(y)} \end{aligned}

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