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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 극한·미분 심화

역삼각함수의 미분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-1 · 2.12절 · 6번대학 수준우리말 번역

f(x)=arcsin⁡(x3)f(x)=\arcsin\left(\dfrac{x}{3}\right) 를 미분하세요. f(x)f(x) 의 정의역은 무엇인지 구하세요.

영어 원문 보기

Differentiate f(x)=arcsin⁡(x3)f(x)=\arcsin\left(\dfrac{x}{3}\right). What is the domain of f(x)f(x)?

정답·풀이 보기

연쇄 법칙(합성함수의 미분법)을 이용하면,

ddx{arcsin⁡(x3)}=11−(x3)2⋅13=131−x29=19−x2\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\arcsin\left(\frac{x}{3}\right)\right\}&=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{3}\right)^2}}\cdot \frac{1}{3}\\ &=\frac{1}{3\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{9-x^2}} \end{aligned}

아크사인의 정의역은 [−1,1][-1,1] 이고 아크사인에 x3\dfrac{x}{3} 를 대입하므로, 대입할 수 있는 xx 의 값은 −1≤x3≤1-1 \le \dfrac{x}{3} \leq 1, 즉 −3≤x≤3-3\leq x \leq 3 을 만족하는 값이다. 따라서 ff 의 정의역은 [−3,3][-3,3] 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Using the chain rule,

ddx{arcsin⁡(x3)}=11−(x3)2⋅13=131−x29=19−x2\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\arcsin\left(\frac{x}{3}\right)\right\}&=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{3}\right)^2}}\cdot \frac{1}{3}\\ &=\frac{1}{3\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{9-x^2}} \end{aligned}

Since the domain of arcsine is [−1,1][-1,1], and we are plugging in x3\dfrac{x}{3} to arcsine, the values of xx that we can plug in are those that satisfy −1≤x3≤1-1 \le \dfrac{x}{3} \leq 1, or −3≤x≤3-3\leq x \leq 3. So the domain of ff is [−3,3][-3,3].

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.12절 · 4번우리말 번역

aa 를 어떤 상수라고 하자. 곡선 y=ax+cos⁡xy=ax+\cos x 는 어디에서 수평인 접선을 갖는지 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

접선이 수평이려면 0=y′=a−sin⁡x0=y'=a-\sin x 이어야 한다. 즉, a=sin⁡xa=\sin x 일 때이다.

  • ∣a∣>1|a|>1 이면, a=sin⁡xa=\sin x 를 만족시키는 xx 의 값이 없으므로 곡선은 수평인 접선을 갖지 않는다.
  • ∣a∣=1|a| = 1 이면, a=sin⁡xa=\sin x 의 해는 무수히 많지만 구간 [−π,π][-\pi,\pi] 에서의 해는 x=arcsin⁡(a)=arcsin⁡(±1)=±π2x=\arcsin(a)=\arcsin(\pm1)=\pm\frac{\pi}{2} 하나뿐이다. 그러면 a=sin⁡xa=\sin x 를 만족시키는 xx 의 값은 임의의 정수 nn 에 대해 x=2πn+aπ2x=2\pi n +a \frac{\pi}{2} 이다.
  • ∣a∣<1|a|<1 이면, a=sin⁡xa=\sin x 의 해는 무수히 많다. 구간 (−π2,π2)\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) 에서의 해는 x=arcsin⁡(a)x=\arcsin(a) 로 주어진다. 구간 (−π,π)\left(-\pi,\pi\right) 에서의 다른 해는 아래의 단위원에서 보듯이 x=π−arcsin⁡(a)x=\pi-\arcsin(a) 로 주어진다.

그림

그림

따라서 x=sin⁡ax=\sin a 를 만족시키는 xx 의 값은 임의의 정수 nn 에 대해 x=2πn+arcsin⁡(a)x=2\pi n+\arcsin(a) 와 x=2πn+π−arcsin⁡(a)x=2\pi n + \pi - \arcsin (a) 이다.

참고: a=1a=1 일 때, 2πn+arcsin⁡(a)=2πn+π2=2πn+π−(π2)=2πn+π−arcsin⁡(a)2\pi n+\arcsin(a) = 2\pi n + \dfrac{\pi}{2}=2\pi n +\pi -\left(\dfrac {\pi}{2}\right)=2\pi n+\pi-\arcsin(a) 이다. 마찬가지로 a=−1a=-1 일 때, 2πn+arcsin⁡(a)=2πn−π2=2π(n−1)+π−(−π2)=2π(n−1)+π−arcsin⁡(a)2\pi n+\arcsin(a) = 2\pi n - \dfrac{\pi}{2}=2\pi (n-1) +\pi -\left(-\dfrac {\pi}{2}\right) =2\pi(n-1)+\pi-\arcsin(a) 이다. 따라서 ∣a∣=1|a|=1 일 때 접선이 수평인 점을 세 번째 항목의 표현으로 나타내려 하면, 올바른 점들을 얻기는 하지만 각 점이 두 번씩 나열된다. 이것이 ∣a∣=1|a|=1 인 경우를 ∣a∣<1|a|<1 인 경우와 따로 나눈 이유이다.

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