역삼각함수의 미분 연습문제 — CLP-1 · 2.12절 · 7번

CLP-1 · 2.12절 · 7번대학 수준우리말 번역

$f(t)=\dfrac{\arccos t}{t^2-1}$ 를 미분하세요. $f(t)$ 의 정의역은 무엇인지 구하세요.

영어 원문 보기

Differentiate $f(t)=\dfrac{\arccos t}{t^2-1}$ . What is the domain of $f(t)$ ?

정답·풀이 보기

몫의 미분법을 이용하면,

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left\{\dfrac{\arccos t}{t^2-1}\right\}&= \frac{(t^2-1)\left(\frac{-1}{\sqrt{1-t^2}}\right)-(\arccos t)(2t)}{(t^2-1)^2} \end{aligned}$

아크코사인의 정의역은 $[-1,1]$ 이고, $t^2-1$ 이 분모에 있으므로 $f$ 의 정의역은 $t^2-1 \neq 0$ , 즉 $t \neq \pm 1$ 이어야 한다. 따라서 $f(t)$ 의 정의역은 $(-1,1)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Using the quotient rule,

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left\{\dfrac{\arccos t}{t^2-1}\right\}&= \frac{(t^2-1)\left(\frac{-1}{\sqrt{1-t^2}}\right)-(\arccos t)(2t)}{(t^2-1)^2} \end{aligned}$

The domain of arccosine is $[-1,1]$ , and since $t^2-1$ is in the denominator, the domain of $f$ requires $t^2-1 \neq 0$ , that is, $t \neq \pm 1$ . So the domain of $f(t)$ is $(-1,1)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.12절 · 6번우리말 번역

$f(x)=\arcsin\left(\dfrac{x}{3}\right)$ 를 미분하세요. $f(x)$ 의 정의역은 무엇인지 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

연쇄 법칙(합성함수의 미분법)을 이용하면,

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\arcsin\left(\frac{x}{3}\right)\right\}&=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{3}\right)^2}}\cdot \frac{1}{3}\\ &=\frac{1}{3\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{9-x^2}} \end{aligned}$

아크사인의 정의역은 $[-1,1]$ 이고 아크사인에 $\dfrac{x}{3}$ 를 대입하므로, 대입할 수 있는 $x$ 의 값은 $-1 \le \dfrac{x}{3} \leq 1$ , 즉 $-3\leq x \leq 3$ 을 만족하는 값이다. 따라서 $f$ 의 정의역은 $[-3,3]$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 역삼각함수의 미분계산보통자동 분류