역삼각함수의 미분 연습문제 — CLP-1 · 2.12절 · 8번

CLP-1 · 2.12절 · 8번대학 수준우리말 번역

$f(x)=\mathop{\mathrm{arcsec}}(-x^2-2)$ 를 미분하세요. $f(x)$ 의 정의역은 무엇인지 구하세요.

영어 원문 보기

Differentiate $f(x)=\mathop{\mathrm{arcsec}}(-x^2-2)$ . What is the domain of $f(x)$ ?

정답·풀이 보기

$\mathop{\mathrm{arcsec}} x$ 의 정의역은 $|x| \geq 1$ 이다. 즉, 아크시컨트에는 절댓값이 1 이상인 값만 대입할 수 있다. $-x^2-2 \leq -2$ 이므로 모든 실수 $x$ 에 대해 아크시컨트에 대입할 수 있는 값이 된다. 따라서 $f(x)$ 의 정의역은 모든 실수이다.

미분하기 위해 연쇄 법칙(합성함수의 미분법)을 이용한다. $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\mathop{\mathrm{arcsec}} x\right\} = \dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$ 임을 기억하자.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\mathop{\mathrm{arcsec}}(-x^2-2)\right\}&= \dfrac{1}{|-x^2-2|\sqrt{(-x^2-2)^2-1}}\cdot(-2x)\\ &=\dfrac{-2x}{(x^2+2)\sqrt{x^4+4x^2+3}}. \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The domain of $\mathop{\mathrm{arcsec}} x$ is $|x| \geq 1$ : that is, we can plug into arcsecant only values with absolute value greater than or equal to one. Since $-x^2-2 \leq -2$ , every real value of $x$ gives us an acceptable value to plug into arcsecant. So, the domain of $f(x)$ is all real numbers.

To differentiate, we use the chain rule. Remember $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\mathop{\mathrm{arcsec}} x\right\} = \dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.12절 · 10번우리말 번역

$f(x)=x\arcsin x + \sqrt{1-x^2}$ 을 미분하세요. $f(x)$ 의 정의역을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

곱의 미분법과 연쇄 법칙을 이용하여 미분한다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ x\arcsin x + \sqrt{1-x^2}\right\}&= \arcsin x + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+ \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}\\ &=\arcsin x \end{aligned}$

$\arcsin x$ 의 정의역은 $[-1,1]$ 이고, $\sqrt{1-x^2}$ 의 정의역은 $1-x^2 \geq 0$ 을 만족하는 모든 $x$ , 즉 $[-1,1]$ 에 속하는 $x$ 이다. 따라서 $f(x)$ 의 정의역은 $[-1,1]$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 역삼각함수의 미분계산보통자동 분류